Movimiento sometido a viento lateral

Enunciado

Un proyectil sobrevuela un plano horizontal sometido a la acción de la gravedad y de un viento horizontal que es más intenso a medida que el proyectil se aleja del suelo. Por ello, su aceleración es de la forma

${\vec {a}}=Ay{\vec {\imath }}-g{\vec {\jmath }}$

con A una constante e y la altura instantánea del proyectil respecto al suelo. El proyectil se lanza verticalmente con velocidad inicial ${\vec {v}}_{0}=v_{0}{\vec {\jmath }}$ desde el punto ${\vec {r}}_{0}=0$. Si tomamos $g=9.6\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$ , $v_{0}=9.6\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$ y $A=2\,\mathrm {s} ^{-2}$, calcule:

1. Las ecuaciones horarias $x(t)$, $y(t)$ (sugerencia: considere primero una componente y luego la otra).
2. La posición del punto de máxima altura.
3. Para el punto de máxima altura calcule la aceleración tangencial y la normal (escalares y vectoriales).
4. La posición del punto de impacto con el suelo.
5. Para el punto de impacto calcule la aceleración tangencial y la normal (escalares y vectoriales)

Ecuaciones horarias

En lo que sigue se usará en todas las magnitudes las unidades fundamentales del sistema internacional.

Separamos por componentes la ecuación ${\ddot {\vec {r}}}={\vec {a}}$ y resultan las ecuaciones

${\ddot {x}}=Ay=2y\qquad \qquad {\ddot {y}}=-g=-9.6$

Con las condiciones iniciales

$x_{0}=0\qquad \qquad y_{0}=0\qquad \qquad v_{x0}=0\qquad \qquad v_{y0}=v_{0}=9.6$

Para integrar la primera ecuación necesitamos conocer y(t). Por ello debemos integrar en primer lugar la segunda ecuación

${\ddot {y}}=-9.6$

Integramos una vez

${\dot {y}}=v_{y0}+\int _{0}^{t}(-g)\mathrm {d} t=v_{0}-gt=9.6-9.6t$

y una segunda vez

$y=y_{0}+\int _{0}^{t}(9.6-9.6t)\mathrm {d} t=9.6t-4.8t^{2}$

Una vez que tenemos $y(t)$, y no antes, podemos hallar x(t), ya que la aceleración horizontal vale

${\ddot {x}}=2y=19.2t-9.6t^{2}$

Integramos una vez

${\dot {x}}=v_{x0}+\int _{0}^{t}a_{x}\mathrm {d} t=9.6t^{2}-3.2t^{3}$

y una segunda vez

$x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}v\mathrm {d} t=3.2t^{3}-0.8t^{4}$

Tenemos, por tanto, las ecuaciones horarias

${\begin{array}{rcl}x&=&3.2t^{3}-0.8t^{4}\\y&=&9.6t-4.8t^{2}\end{array}}$

Punto de máxima altura

Para localizar el punto de máxima altura primero calculamos el instante en el que esto ocurre, que corresponde a que la velocidad vertical sea nula.

$v_{y}=9.6-9.6t_{m}=0\qquad \Rightarrow \qquad t_{m}=1\,\mathrm {s}$

y una vez que tenemos este instante calculamos la posición sustituyendo

$x(t_{m})=3.2\cdot 1-0.8\cdot 1=2.4\,\mathrm {m} \qquad \qquad y(t_{m})=9.6\cdot 1-4.8\cdot 1^{2}=4.8\,\mathrm {m}$

En forma vectorial

${\vec {r}}_{m}=(2.4{\vec {\imath }}+4.8{\vec {\jmath }})\,\mathrm {m}$

Aceleración tangencial y normal

La aceleración en cada instante es de la forma, en $\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$

${\vec {a}}=Ay{\vec {\imath }}-g{\vec {\jmath }}=2(9.6t-4.8t^{2}){\vec {\imath }}-9.6{\vec {\jmath }}=(19.2t-9.6t^{2}){\vec {\imath }}-9.6{\vec {\jmath }}$

y, en el instante de máxima altura

${\vec {a}}(t_{m})=9.6{\vec {\imath }}-9.6{\vec {\jmath }}$

En el punto de máxima altura la velocidad es puramente horizontal (ya que justamente en ese punto se anula la componente vertical de la velocidad), es decir,

${\vec {T}}={\vec {\imath }}$

Por tanto, la componente tangencial de la aceleración es la que va en la dirección horizontal y la normal la que va en la dirección vertical,

${\vec {a}}_{t}=9.6{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {a}}_{n}=-9.6{\vec {\jmath }}$

En forma escalar tenemos

$a_{t}=9.6\qquad \qquad a_{n}=9.6$

ya que la aceleración normal es siempre positiva. Esto nos da el vector normal

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{a_{n}}}=-{\vec {\jmath }}$

Punto de impacto

El punto de impacto es aquel en que y vuelve a ser nula

$0=9.6t-4.8t^{2}\qquad \Rightarrow \qquad t_{i}=2\,\mathrm {s}$

El valor de x en ese instante es

$x=3.2\times 2^{3}-0.8\times 2^{4}=12.8\,\mathrm {m}$

Aceleración en el punto de impacto

La velocidad en el instante de impacto es

${\vec {v}}(2)=(9.6\times 2^{2}-3.2\times 2^{3}){\vec {\imath }}+(8.6-9.6\times 2){\vec {\jmath }}=12.8{\vec {\imath }}-9.6{\vec {\jmath }}$

siendo la rapidez

$\left|{\vec {v}}\right|={\sqrt {12.8^{2}+9.6^{2}}}=16.0$

y el vector tangente

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}=0.80{\vec {\imath }}-0.60{\vec {\jmath }}$

La aceleración en este momento es

${\vec {a}}(2)=-9.6{\vec {\jmath }}$

Esto nos da la aceleración tangencial (escalar)

$a_{t}={\vec {a}}\cdot {\vec {T}}=5.76$

y, en forma vectorial,

${\vec {a}}_{t}=a_{t}{\vec {T}}=4.608{\vec {\imath }}-3.456{\vec {\jmath }}$

La aceleración normal la obtenemos restando

${\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}=-4.608{\vec {\imath }}-6.144{\vec {\jmath }}$

siendo su valor escalar

$a_{n}=\left|{\vec {a}}_{n}\right|=7.68$