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Condensadores en asociación variable, F2 GIA (Sept, 2018)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tienen tres condensadores de idéntica geometría, “1”, “2” y “3”, cuya capacidad eléctrica sería C0 si no hubiese ningún medio material dieléctrico separando los conductores. Sin embargo, están rellenos de sendos dieléctricos de constantes dieléctricas κ1, κ2 y κ3, respectivamente. Inicialmente se encuentran los tres descargados y los dos primeros están conectados en serie, con el conductor libre de “2” conectado al conductor de referencia o tierra. Un generador electrostático de f.e.m. V0, tiene su electrodo negativo conectado también al conductor de referencia. Se procede a conectar el electrodo positivo al conductor libre del condensador “1” para cargar la asociación en serie. Una vez realizado este paso, se desconecta el generador. Posteriormente, se conecta el conductor flotante de la asociación en serie formada por “1” y “2” a un conductor del condensador “3”, que tiene el otro conductor conectado a “tierra”.

  1. ¿Qué cantidad de carga eléctrica hay en cada uno de los conductores de “1” y “2” tras cargar la asociación en serie de estos dos condensadores? ¿Cuál es el valor del potencial en el conductor flotante?
  2. ¿Qué valores de carga y potencial habrá en los conductores de cada condensador al conectar el condensador “3” al sistema, tal como se describe en el enunciado?¿Cómo ha cambiado la cantidad de energía almacenada al conectar dicho condensador?
  3. Sean ΔV1$, ΔV2 y ΔV3 los valores de las diferencias de potencial máximas que pueden aplicarse a los respectivos condensadores “1”, “2” y “3” para que no se produzca la ruptura dieléctrica en cada uno de ellos. Obtenga las expresiones que permitan determinar cuál debe ser el valor máximo que puede tener V0, en funcin de estos valores y de las constantes dieléctricas, para que en ningún momento del proceso descrito se produzca una ruptura dieléctrica en el sistema. Considere el caso particular en que κ1 < κ2 < κ3 y ΔV1 < ΔV2 < ΔV3: ¿cuál debe ser el valor máximo de V0?

2 Solución

Los valores Ci de Las capacidade de los tres condensadores verifican

C_0=\frac{C_1}{\kappa_1}=\frac{C_2}{\kappa_2}=\frac{C_3}{\kappa_3}

Inicialmente, antes de realizar ninguna conexión, el sistema está completamente descargado; es decir, ambos conductores de los tres condensadores tienen carga nula y se encuentran a potencial cero.

2.1 Cargas eléctricas y potencial en la asociación en serie

Los condensadores “1” y “2” están conectados en serie, mient ras que “3” se mantiene desconectado del sistema. En un determinado instante, se procede a conectar el electrodo accesible del condensador “1” al generador electrostático con f.e.m. de valor V0. Dicho electrodo (conductor) va a constituir una superficie equipotencial de valor V1, y se cargará con una cierta cantidad de carga Q1, suministrada por el generador; el otro electrodo del condensador “1” adquiere una cantidad de carga opuesta, por estar ambos en influencia total. Este segundo eléctrodo presentarán un valor de potencial V2, que será el mismo que el electrodo del condensador “2”, al cuál está aquél conectado, dando lugar a la asociación en serie. Y como el otro electrodo del condensador “2” está conectado a tierra y por tanto, el valor del potencial en dicho conductor es nulo, la diferencia de potencial entre dichos electrodos provoca la aparición de cargas eléctricas, naturalmente opuestas \pm Q_2 en ambos conductores del condensador “2”. Nótese que la carga Q2 en el electrodo conectado a tierra sería suministrada por dicho conductor de referencia. Por otra parte, nótese que en la asociación en serie de ambos condensadores, los electrodos de unos y otro que son interconectados constituyen un conductor flotante; es decir, es conductor aislado en el que la carga Qf que almacenada permanece constante: y si inicilamente estaba descargado, en todo momento permancerá con carga total nula, independientemente de cómo se distribuya. En consecuencia,

-Q_1+Q_2=Q_\mathrm{f}=0\; \Longrightarrow \; Q_1=Q=Q_2

Por otra parte, la capacidad C12 de la asociación en serie de los condensadores 1 y 2, será

\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{C _1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{C_0}\ \frac{\kappa_1+\kappa_2}{\kappa_1\kappa_2}=\frac{V_1}{Q}\ \mathrm{,}

pues la diferencia de potencial entre los conductores accesibles de la asociación es V1, al estar el otro a potencial nulo (conectado a tierra). Y puesto que el conductor accesible del condensador “1” está directamente conectado al electrodo positivo del generador mientras que el negativo está a tierra, se tendrá:

V_1=V_0\mathrm{;}\; \Longrightarrow \; Q_1=Q_2=Q=\frac{\kappa_1\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\ C_0\!\ V_0

El valor del potencial en el conductor flotante, Vf, es inmediato:

C_2=\kappa_2\!\ C_0=\frac{Q_2}{V_2}=\frac{Q}{V_2}\; \Longrightarrow \;    V_\mathrm{f}=V_2==\frac{Q}{\kappa_2\!\ C_0}=\frac{\kappa_1}{\kappa_1+\kappa_2}\ V_0

Si tras cargarse la asociación en serie se desconecta el generador, en los conductores permanecen las mismas cantidades de carga que se establecieron tras la conexión. Y tampoco lo harán los valores de los potenciales V1 y V2, mientras no se mantengan las capacidades eléctricas del sistema; es decir, mientras no se cambie la geometría de los condensadores y/o sus conexiones.

2.2 Cargas eléctricas y potenciales tras conectar el tercer condensador

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