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==Enunciado==
Se tienen tres condensadores de idéntica geometría, &ldquo;1&rdquo;, &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;3&rdquo;, cuya capacidad eléctrica sería <math>C_0</math> si no hubiese ningún medio material dieléctrico separando los conductores. Sin embargo, están rellenos de sendos dieléctricos de constantes dieléctricas <math>\kappa_1</math>, <math>\kappa_2</math> y <math>\kappa_3</math>, respectivamente. Inicialmente se encuentran los tres descargados y los dos primeros están conectados en serie, con el conductor libre de &ldquo;2&rdquo; conectado al conductor de referencia o ''tierra''. Un generador electrostático de f.e.m. <math>V_0</math>, tiene su electrodo negativo conectado también al conductor de referencia. Se procede a conectar el electrodo positivo al conductor libre del condensador &ldquo;1&rdquo; para cargar la asociación en serie. Una vez realizado este paso, se desconecta el generador. Posteriormente, se conecta el conductor ''flotante'' de la asociación en serie formada por &ldquo;1&rdquo; y &ldquo;2&rdquo; a un conductor del condensador  &ldquo;3&rdquo;, que tiene el otro conductor conectado a &ldquo;tierra&rdquo;.

[[Archivo:FII_gIA_18_19_bol_E3_7_0.png|right]]

# ¿Qué cantidad de carga eléctrica hay en cada uno de los conductores de &ldquo;1&rdquo; y &ldquo;2&rdquo; tras cargar la asociación en serie de estos dos condensadores? ¿Cuál es el valor del potencial en el conductor ''flotante''?
# ¿Qué valores de carga y potencial habrá en los conductores de cada condensador al conectar el condensador  &ldquo;3&rdquo; al sistema, tal como se describe en el enunciado?¿Cómo ha cambiado la cantidad de energía almacenada al conectar dicho condensador?
# Sean <math>\Delta V_1</math>$, <math>\Delta V_2</math> y <math>\Delta V_3</math> los valores de las diferencias de potencial máximas que pueden aplicarse a los respectivos condensadores &ldquo;1&rdquo;, &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;3&rdquo; para que no se produzca la ruptura dieléctrica en cada uno de ellos. Obtenga las expresiones que permitan determinar cuál debe ser el valor máximo que puede tener <math>V_0</math>, en funcin de estos valores y de las constantes dieléctricas, para que en ningún momento del proceso descrito se produzca una ruptura dieléctrica en el sistema. Considere el caso particular en que <math>\kappa_1<\kappa_2<\kappa_3</math> y <math>\Delta V_1<\Delta
V_2<\Delta V_3</math>: ¿cuál debe ser el valor máximo de <math>V_0</math>?

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[[Categoría: Problemas de examen F2 GIA]]

==Solución==
Los valores <math>C_i</math> de Las capacidade de los tres condensadores verifican 

<center><math>C_0=\frac{C_1}{\kappa_1}=\frac{C_2}{\kappa_2}=\frac{C_3}{\kappa_3}</math></center>

Inicialmente, antes de realizar ninguna conexión, el sistema está completamente descargado; es decir, ambos conductores de los tres condensadores tienen carga nula y se encuentran a potencial cero.

===Cargas eléctricas y potencial en la asociación en serie===
Los condensadores &ldquo;1&rdquo; y &ldquo;2&rdquo; están conectados en serie, mient ras que &ldquo;3&rdquo; se mantiene desconectado del sistema. En un determinado instante, se procede a conectar el electrodo ''accesible'' del condensador &ldquo;1&rdquo; al generador electrostático con f.e.m. de valor <math>V_0</math>. Dicho electrodo (conductor) va a constituir  una superficie equipotencial de valor <math>V_1</math>, y se cargará con una cierta cantidad de carga <math>Q_1</math>, suministrada por el generador; el otro electrodo del condensador &ldquo;1&rdquo; adquiere una cantidad de carga opuesta, por estar ambos en influencia total. Este segundo eléctrodo presentarán un valor de potencial <math>V_2</math>, que será el mismo que el electrodo del condensador &ldquo;2&rdquo;, al cuál está aquél conectado, dando lugar a la asociación en serie. Y como el otro electrodo del condensador &ldquo;2&rdquo; está conectado a tierra y por tanto, el valor del potencial en dicho conductor es nulo, la diferencia de potencial entre dichos electrodos provoca la aparición de cargas eléctricas, naturalmente opuestas <math>\pm Q_2</math> en ambos conductores del condensador &ldquo;2&rdquo;. Nótese que la carga <math>-Q_2</math> en el electrodo conectado a ''tierra'' sería suministrada por dicho ''conductor de referencia''. Por otra parte, nótese que en la asociación en serie de ambos condensadores, los electrodos de unos y otro que son interconectados constituyen un ''conductor flotante''; es decir, es conductor aislado en el que la carga <math>Q_\mathrm{f}</math> que almacenada permanece constante: y si inicilamente estaba descargado, en todo momento permancerá con carga total nula, independientemente de cómo se distribuya. En consecuencia,

[[Archivo:FII_gIA_18_19_bol_E3_7_1.png|right]]<center><math>-Q_1+Q_2=Q_\mathrm{f}=0\; \Longrightarrow \; Q_1=Q=Q_2</math></center>

Por otra parte, la capacidad <math>C_{12}</math> de la asociación en serie de los condensadores 1 y 2, será

<center><math>\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{C _1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{C_0}\ \frac{\kappa_1+\kappa_2}{\kappa_1\kappa_2}=\frac{V_1}{Q}\ \mathrm{,}</math></center>

pues la diferencia de potencial entre los conductores accesibles de la asociación es <math>V_1</math>, al estar el otro a potencial nulo (conectado a ''tierra''). Y puesto que el conductor accesible del condensador &ldquo;1&rdquo; está directamente conectado al electrodo positivo del generador mientras que el negativo está a ''tierra'', se tendrá:

<center><math style="border:solid magenta 2px;padding:10px">V_1=V_0\mathrm{;}\; \Longrightarrow \; Q_1=Q_2=Q=\frac{\kappa_1\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\ C_0\!\ V_0</math></center>

El valor del potencial en el conductor flotante, <math>V_\mathrm{f}</math>, es inmediato:

<center><math>C_2=\kappa_2\!\ C_0=\frac{Q_2}{V_2}=\frac{Q}{V_2}\; \Longrightarrow \;</math>{{qquad}}<math style="border:solid magenta 2px;padding:10px">V_\mathrm{f}=V_2=\frac{Q}{\kappa_2\!\ C_0}=\frac{\kappa_1}{\kappa_1+\kappa_2}\ V_0</math></center>

Si tras cargarse la asociación en serie se desconecta el generador, en los conductores permanecen las mismas cantidades de carga que se establecieron tras la conexión. Y  tampoco lo harán los valores de los potenciales <math>V_1</math> y <math>V_2</math>, mientras no se mantengan las capacidades eléctricas del sistema; es decir, mientras no se cambie la geometría de los condensadores y/o sus conexiones.

===Cargas eléctricas y potenciales tras conectar el tercer condensador===
Cuando el condensador &ldquo;3&rdquo; se conecta a la asociación en serie previamente cargada y desconectada del generador, aquél pasa de estar descargado a tener cargas <math>\pm Q_3</math>; pero también han cambiado las capacidades eléctricas del sitema previo, por lo que también cambiarán las cargas y potenciales, en los conductores de los condesadores &ldquo;1&rdquo; y &ldquo;2&rdquo; que, en general, tendrán valores <math>\pm Q_1^\prime</math>, <math>\pm Q_2^\prime</math>, <math>V_1^\prime</math> y <math>V_2^\prime</math>. Obsérvese que éste va a ser también el potencial en el electrodo del condensador &ldquo;3&rdquo; que se conecta al ''conductor flotante'' la previa asociación en serie. Y como el condensador &ldquo;3&rdquo; estaba inicialmente descargado, la conexión de los tres conductores (uno de cada condensador) seguirá constituyendo un conductor aislado y descargado; es decir, sigue siendo un conductor ''flotante''. Por tanto,

[[Archivo:FII_gIA_18_19_bol_E3_7_2.png|right]]<center><math>-Q_1^\prime+Q_2^\prime+Q_3^\prime=Q_\mathrm{f}=0</math></center>

Por otra parte, el conductor libre del condensador &ldquo;1&rdquo; (el que se conecto y desconectó luego del generador), se encuentra aislado, es decir, no puede cambiar la cantidad de carga que soporta, que seguirá siendo la que adquirió al conectar el generador. Y en el otro conductor se mantedrá la carga opuesta, al ser &ldquo;1&rdquo; un condensador que, necesariamente ha de cumplir la condición de conductores en influencia total. En consecuencia, se tendrá:

<center><math style="border:solid purple 2px;padding:10px">Q_1^\prime=Q=\frac{\kappa_1\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\ C_0\!\ V_0</math>{{qquad}}y{{qquad}}<math>Q_2^\prime+Q_3^\prime=Q_1^\prime=Q</math></center>

Si tenemos en cuenta que &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;3&rdquo; forman una '''asociación en paralelo''', su capacidad <math>C_{23}</math>, es ...

<center><math>C_{23}=C_2+C_3=C_0\!\ (\kappa_2+\kappa_3)=\frac{Q_2^\prime+Q_3^\prime}{V_2^\prime}\; \Longrightarrow \;</math>{{qquad}}<math style="border:solid purple 2px;padding:10px">\quad V_\mathrm{f}^\prime=V_2^\prime=\frac{Q}{C_0\!\ (\kappa_2+\kappa_3)}=\frac{\kappa_1\kappa_2}{(\kappa_1+\kappa_2)(\kappa_2+\kappa_3)}\ V_0</math></center>

... y las cargas en los conductores &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;3&rdquo;...

<center><math style="border:solid purple 2px;padding:10px">Q_2^\prime=\kappa_2\!\ C_0 V_2^\prime=\frac{\kappa_1\kappa_2^2}{(\kappa_1+\kappa_2)(\kappa_2+\kappa_3)}\ C_0\!\ V_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math style="border:solid purple 2px;padding:10px">Q_3^\prime=\kappa_3\!\ C_0 V_2^\prime=\frac{\kappa_1\kappa_2\kappa_3}{(\kappa_1+\kappa_2)(\kappa_2+\kappa_3)}\ C_0\!\ V_0</math></center>

Finalmente, la diferencia de potencial entre los conductores del condensador &ldquo;1&rdquo; está determinada por la cantidad de carga eléctrica que separa y su capacidad:

<center><math>V_1^\prime-V_2^\prime=\frac{Q_1^\prime}{\kappa_1\!\ C_0}\; \Longrightarrow \;</math>{{qquad}}<math style="border:solid purple 2px;padding:10px">V_1^\prime=V_2^\prime+\frac{Q}{\kappa_1\!\ C_0}=\frac{\kappa_2\!\ (\kappa_1+\kappa_2+\kappa_3)}{(\kappa_1+\kappa_2)(\kappa_2+\kappa_3)}</math></center>