Condensador con pérdidas

Enunciado

En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección $S$, separadas una distancia $a$ entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad $\varepsilon$ y con una pequeña conductividad $\sigma$. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m ${\mathcal {E}}$.

1. Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
2. Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
3. Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
4. Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. ${\mathcal {E}}$ y resistencia interna $r$, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
5. Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como $V(t)$, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
6. ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

Campo y densidad de corriente

Al tratarse de un medio homogéneo situado entre dos placas paralelas, el campo eléctrico es uniforme en todo el material y proporcional a la diferencia de potencial

${\vec {E}}={\frac {\Delta V}{a}}{\vec {k}}$

siendo ${\vec {k}}$ el unitario que va en la dirección de la placa positiva a la negativa.

Si la fuente es ideal, la d.d.p. coincide con la fuerza electromotriz y

${\vec {E}}={\frac {\mathcal {E}}{a}}{\vec {k}}$

En el medio material existe una densidad de corriente proporcional al campo, según la ley de Ohm

${\vec {J}}=\sigma {\vec {E}}={\frac {\sigma {\mathcal {E}}}{a}}{\vec {k}}$

Esto quiere decir que el medio dieléctrico, al no ser perfectamente aislante, es atravesado por una intensidad de corriente

$I=\int {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {\sigma S}{a}}{\mathcal {E}}={\frac {\mathcal {E}}{R}}\qquad R={\frac {a}{\sigma S}}$

El que haya una corriente no quiere decir que las placas estén descargadas. Como en cualquier condensador plano habrá una carga

$Q=C\,\Delta V=C{\mathcal {E}}\qquad \qquad C={\frac {\varepsilon S}{a}}$

o, más exactamente, habrá una carga $+Q$ en la placa a mayor potencial y una $-Q$ en la de menor potencial.

El que haya corriente se explica porque las cargas positivas de una placa atraen a las negativas de la otra y en este caso pueden fluir por el material intermedio. Si las placas no se descargan es porque la fuente de tensión va reponiendo de forma continua las cargas que escapan. Esto quiere decir que aunque la carga del condensador permanece constante, las cargas individuales van siendo sustituidas sucesivamente.

La resistencia y la capacidad del condensador tienen una relación sencilla que no depende de sus dimensiones

$RC={\frac {a}{\sigma S}}\,{\frac {\varepsilon S}{a}}={\frac {\varepsilon }{\sigma }}$

Energía y potencia

En este sistema existe una energía almacenada que puede calcularse a partir del campo eléctrico

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\int \varepsilon E^{2}\,\mathrm {d} v={\frac {1}{2}}\varepsilon \left({\frac {\mathcal {E}}{a}}\right)^{2}aS={\frac {1}{2}}C(\Delta V)^{2}$

Al mismo tiempo, se está disipando energía a un ritmo constante, por efecto Joule

$P={\frac {(\Delta V)^{2}}{R}}={\frac {{\mathcal {E}}^{2}}{R}}$

Esto quiere decir que para mantener el condensador cargado, la fuente debe suministrar carga y energía de forma continua.

Circuito equivalente

Este elemento es tanto un condensador (caracterizado por una carga y una energía almacenadas), de capacidad $C$, como una resistencia $R$ (caracterizada por una corriente y una potencia disipada por efecto Joule). La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia es la misma que entre los del condensador, por lo que ambos elementos están en paralelo.

Por ello, el circuito equivalente a un condensador real con pérdidas es una asociación en paralelo de dos elementos:

• un condensador ideal de capacidad $C$, por el cual no pasa corriente, es decir, tiene conductancia nula (o resistencia infinita)
• una resistencia ideal $R$, que no almacena carga alguna, es decir, sin capacidad.

De esta forma, en el circuito se separan los efectos de almacenamiento de carga y de flujo de carga. De la misma manera, se separan el almacenamiento de energía y la disipación de energía por efecto Joule.

Hay que insistir, no obstante, en que aunque el circuito equivalente tenga dos elementos, en realidad se trata de un solo dispositivo físico. Una cosa es el sistema real y otra su modelo circuital.

Fuente real

Si la fuente conectada a las placas es una fuente real, el circuito equivalente se complica.

    

Aunque el sistema real está formado por dos elementos (la fuente real y el condensador con pérdidas), el circuito equivalente está formado por cuatro: la fuente ideal y la resistencia interna, puestos en serie y el condensador ideal y la resistencia ideal, puestos en paralelo.

La diferencia de potencial entre las placas ya no coincide con la fuerza electromotriz, sino que

$\Delta V=V_{P}-V_{N}={\mathcal {E}}-Ir\,$

Se sigue cumpliendo que la diferencia de potencial entre las placas es proporcional a la corriente que circula por el material

$V_{P}-V_{N}=IR\,$

Igualando y despejando obtenemos la corriente

$I={\frac {\mathcal {E}}{R+r}}$

y la d.d.p.

$\Delta V=V_{p}-V_{N}={\frac {{\mathcal {E}}R}{R+r}}$

Una vez que tenemos la diferencia de potencial, tenemos la carga en las placas, que ahora es dependiente de la resistencia del elemento:

$Q=C\,\Delta V={\frac {{\mathcal {E}}RC}{R+r}}$

Igualmente hallamos el campo entre las placas

${\vec {E}}={\frac {\Delta V}{a}}{\vec {k}}={\frac {{\mathcal {E}}R}{(R+r)a}}{\vec {k}}$

la densidad de corriente

${\vec {J}}=\sigma {\vec {E}}={\frac {\sigma {\mathcal {E}}R}{(R+r)a}}{\vec {k}}={\frac {\mathcal {E}}{(R+r)S}}{\vec {k}}$

la energía almacenada

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}C(\Delta V)^{2}={\frac {C{\mathcal {E}}^{2}R^{2}}{2(R+r)^{2}}}$

y la potencia disipada

$P=I^{2}R={\frac {{\mathcal {E}}^{2}R}{(R+r)^{2}}}$

Voltaje variable

Cuando el voltaje entre las placas es función del tiempo, ya la corriente que llega por el cable no coincide con la que atraviesa el material. la razón es que está cambiando la carga en las placas y esta modificación requiere una corriente adicional.

Aplicando la ley de conservación de la carga a una superficie que envuelve a la placa positiva, tenemos

$-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=\oint {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

La densidad de corriente atraviesa la superficie en dos partes: en el medio material y en el cable

$\oint {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{\mathrm {medio} }{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+\oint _{\mathrm {cable} }{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

La integral en el cable es justamente la intensidad de corriente que circula por él, pero cambiada de signo (ya que tomamos la intensidad hacia el dispositivo mientras que $\mathrm {d} {\vec {S}}$ va hacia afuera)

Por tanto

$-{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=\int _{\mathrm {medio} }{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}-I$

y la corriente que llega al dispositivo es

$I=\int _{\mathrm {medio} }{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}$

Vemos que se compone de dos partes:

Componente resistiva

está asociada a la corriente que fluye por el interior del material. Esta corriente sigue siendo proporcional a la d.d.p entre placas

$I_{R}=\int _{\mathrm {medio} }{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {\Delta V}{R}}$

Componente capacitiva

asociada al proceso de carga del condensador. Depende de la derivada de la carga respecto al tiempo

$Q=C\,\Delta V\qquad I_{C}={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=C{\frac {\mathrm {d} (\Delta V)}{\mathrm {d} t}}$

Esto da la corriente

$I=I_{R}+I_{C}={\frac {\Delta V}{R}}+C{\frac {\mathrm {d} (\Delta V)}{\mathrm {d} t}}$     

Esta ecuación puede leerse de varias formas:

• Empleando la ley de conservación de la carga, se entiende como que de la carga que llega a la placa, parte se queda en ella (aumentando la carga almacenada) y parte se escapa por el material.
• Empleando el circuito equivalente lo vemos como que al llegar la corriente a dos ramas en paralelo, se reparte entre ellas. Parte se va por la resistencia y parte por el condensador.

En el caso de que la conductividad sea nula, la componente resistiva se anula y queda solo la capacitiva

$R\to \infty \qquad \Rightarrow \qquad I={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}$

Esto quiere decir que por un condensador ideal sí puede circular corriente, si la tensión es variable en el tiempo. La corriente en este caso no atraviesa el material, sino que funciona por inducción: las nuevas cargas positivas en una placa atraen nuevas cargas negativas al otro lado y el resultado es que equivalente a que haya una corriente fluyendo por el interior.

En el caso de voltaje constante (lo que vimos al principio), la carga permanece constante y solo queda la componente resistiva

$\Delta V=\mathrm {cte} \qquad \Rightarrow \qquad I={\frac {\Delta V}{R}}$

Desconexión de la fuente

En el caso de que abramos el interruptor, ya el condensador no se queda cargado como en el caso ideal.

La atracción entre las cargas, que ahora pueden fluir por el interior, hace que las cargas positivas se vayan hacia la placa negativa y viceversa. La carga en cada una de las placas va disminuyendo gradualmente hasta que termina por descargarse.

    

También se desvanece la energía almacenada, que se esfuma por efecto Joule.

Mátematicamente, lo que caracteriza al dispositivo en este caso es que la corriente que llega al dispositivo se anula

$0=I={\frac {\Delta V}{R}}+C{\frac {\mathrm {d} (\Delta V)}{\mathrm {d} t}}$

lo que implica que la corriente resistiva y la capacitiva son iguales y opuestas.

Esto nos da como resultado que la d.d.p. decae exponencialmente

${\frac {\mathrm {d} (\Delta V)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}\,\Delta V\qquad \Rightarrow \qquad \Delta V=(\Delta V)_{0}\mathrm {e} ^{-t/\tau }$

siendo

$\tau =RC={\frac {\varepsilon }{\sigma }}\,$

el tiempo de descarga del condensador.