Composición de dos rotaciones de 90° (CMR)

Enunciado

Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.

1. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a ${OY}_{1}$ y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a ${OY}_{1}$ por ${\overrightarrow {OA}}=b{\vec {\imath }}_{1}$. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
2. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a ${OY}_{1}$ y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a ${OY}_{1}$ por ${\overrightarrow {OA}}=b{\vec {\imath }}_{1}$. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
3. Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a ${OY}_{1}$ y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a ${OZ}_{1}$ por ${\overrightarrow {OA}}=b{\vec {\imath }}_{1}$. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?

Introducción

Cuando se tiene una rotación alrededor del origen, la transformación entre las coordenadas de un punto en el sistema ligado $(X,Y,Z)$ y sus coordenadas en el sistema fijo $(x,y,z)$ las da la matriz de rotación ${\bar {\bar {R}}}$

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}$

Si los ejes de los dos sistemas son coincidentes inicialmente, lo que ocurre a menudo, esta ecuación también nos da la relación entre las coordenadas antes y después de la rotación

${\vec {r}}_{1}={\bar {\bar {R}}}\cdot {\vec {r}}_{0}$

o, usando vectores de posición relativa

${\overrightarrow {OP}}^{\prime }={\bar {\bar {R}}}\cdot {\overrightarrow {OP}}$

Si la rotación no se produce alrededor del origen sino de un eje que pasa por un punto E, la expresión es la misma, pero respecto a dicho punto

${\overrightarrow {EP}}^{\prime }={\bar {\bar {R}}}\cdot {\overrightarrow {EP}}$

o, empleando coordenadas

${\begin{pmatrix}x-x_{E}\\y-y_{E}\\z-z_{E}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X-x_{E}\\Y-y_{E}\\Z-z_{E}\end{pmatrix}}$

o, equivalentemente

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{E}\\y_{E}\\z_{E}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X-x_{E}\\Y-y_{E}\\Z-z_{E}\end{pmatrix}}$

es decir,

${\vec {r}}_{1}={\vec {r}}_{E}+{\bar {\bar {R}}}\cdot ({\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}_{E})=\left({\bar {\bar {1}}}-{\bar {\bar {R}}}\right)\cdot {\vec {r}}_{E}+{\bar {\bar {R}}}\cdot {\vec {r}}_{0}$

Al final, como siempre, el movimiento se reduce a una rotación seguida de una traslación.

Si ahora tenemos dos movimientos consecutivos, basta aplicar primero uno, para obtener un punto intermedio, y luego aplicar el segundo movimiento a éste.

Si la primera rotación es en torno al origen, el efecto de la segunda es

${\vec {r}}_{1}=\left({\bar {\bar {1}}}-{\bar {\bar {R}}}_{2}\right)\cdot {\vec {r}}_{E}+\left({\bar {\bar {R}}}_{2}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{1}\right)\cdot {\vec {r}}_{0}$

Es decir, la rotación total es la composición de las dos

${\bar {\bar {R}}}={\bar {\bar {R}}}_{2}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{1}$

y la traslación es

$\Delta {\vec {r}}=\left({\bar {\bar {1}}}-{\bar {\bar {R}}}_{2}\right)\cdot {\vec {r}}_{E}$

Primer caso

Una rotación de un ángulo θ en torno al eje OY se realiza mediante la matriz

${\bar {\bar {R}}}_{y}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&0&\mathrm {sen} (\theta )\\0&1&0\\-\mathrm {sen} (\theta )&0&\cos(\theta )\end{pmatrix}}$

que para el caso de una rotación de +90&degree; se reduce a

${\bar {\bar {R}}}_{y}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

y para una de −90&degree;

${\bar {\bar {R}}}_{y}^{T}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

Según esto, el resultado de la primera rotación es

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z\\Y\\-X\end{pmatrix}}$

El de la segunda, alrededor de un eje por (b,0,0) es

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}Z-b\\Y\\-X\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}X\\Y\\Z-b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X+b\\Y\\Z-b\end{pmatrix}}$

Por tanto, el resultado neto de los dos movimientos es

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b\\0\\-b\end{pmatrix}}$

es decir, una traslación,

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\Delta {\vec {r}}\qquad \qquad \Delta {\vec {r}}=b{\vec {\imath }}_{1}-b{\vec {k}}_{1}$

Directamente podemos verlo empleando las fórmulas del final del apartado anterior. La composición de rotaciones es

${\bar {\bar {R}}}={\bar {\bar {R}}}_{y}^{T}\cdot {\bar {\bar {R}}}_{y}^{T}={\bar {\bar {1}}}$

resulta la unidad pues se anulan mutuamente.

La traslación es

$\Delta {\vec {r}}=\left({\bar {\bar {1}}}-{\bar {\bar {R}}}_{2}\right)\cdot {\vec {r}}_{E}=\left({\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\-b\end{pmatrix}}$

Segundo caso

En el segundo caso tenemos dos rotaciones en el mismo sentido. Al aplicar la primera rotación tenemos, como antes

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z\\Y\\-X\end{pmatrix}}$

y en la segunda

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}Z-b\\Y\\-X\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-X\\Y\\-Z+b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-X+b\\Y\\-Z+b\end{pmatrix}}$

Si escribimos este resultado en forma matricial queda

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}$

Esta matriz corresponde a un giro de 180° alrededor del eje OY seguida de una traslación

$\Delta {\vec {r}}=b{\vec {\imath }}_{1}+b{\vec {k}}_{1}$

El desplazamiento en la dirección del eje de giro (${\vec {\jmath }}_{1}$) es

$D={\vec {r}}\cdot {\vec {u}}=\left(b{\vec {\imath }}_{1}+b{\vec {k}}_{1}\right)\cdot {\vec {\jmath }}_{1}=0$

y por tanto el movimiento es una rotación pura. Es fácil comprobar que el punto $E(-b/2,0,-b/2)$ es un punto fijo, no afectado por la transformación y, por tanto, por él pasa el eje.

Tercer caso

En el tercer caso, la segunda rotación es alrededor de un eje paralelo a OZ. En general, la matriz de rotación para este eje es

${\bar {\bar {R}}}_{z}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\mathrm {sen} (\theta )&0\\\mathrm {sen} (\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

que, para un ángulo de −90° queda

${\bar {\bar {R}}}_{z}={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

En este caso, la primera rotación es la misma que en los dos casos anteriores

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z\\Y\\-X\end{pmatrix}}$

y en la segunda

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}Z-b\\Y\\-X\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}Y\\-Z+b\\-X\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y+b\\-Z+b\\-X\end{pmatrix}}$

Si escribimos este resultado en forma matricial queda

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\\b\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}$

El eje de esta rotación lo da el autovector correspondiente al autovalor unidad, que en este caso es, una vez normalizado

${\vec {u}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {\imath }}_{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {\jmath }}_{1}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {k}}_{1}$

El desplazamiento en la dirección del eje es

$D=\Delta {\vec {r}}\cdot {\vec {u}}={\frac {2b}{\sqrt {3}}}$

Al no ser nulo, el movimiento es helicoidal.