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Colisión con rozamiento

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sobre una superficie horizontal se encuentran dos masas. La masa m_1=1.0\,\mathrm{kg} se encuentra inicialmente en x_{10}=0\,\mathrm{m} y la masa m_2=4.0\,\mathrm{kg} en x_{20}=1.0\,\mathrm{m}. La masa 2 está unida a un resorte de constante k=400\,\mathrm{N}/\mathrm{m} y longitud en reposo \ell_0=0.50\,\mathrm{m}, estando inicialmente en la posición de equilibrio. El tramo de 1 m entre la masa 1 y la 2 es una superficie rugosa, en la que la constante de rozamiento vale μ = 0.45. El resto de la superficie está pulido.

Estando las dos masas en reposo se le aplica una percusión a la masa 1 de forma que esta adquiere una velocidad inicial v_0=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}

  1. Determine la velocidad de m1 justo antes de impactar con la masa 2.
  2. Calcule las velocidades de ambas masas justo tras el impacto. Suponga que la colisión es perfectamente elástica.
  3. Halle la posición x1f en la que se detiene la masa 1, si llega a hacerlo. Si no se detiene, halle la velocidad con la que llega a su posición inicial.
  4. Halle la posición x2f en la que se detiene m_2 por primera vez.

Tómese g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

2 Velocidad antes del impacto

Por el teorema trabajo-energía cinética

\Delta K = W\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2-\frac{1}{2}m_1v_0^2 = -(\mu m_1g )\Delta x

y da, para la velocidad de impacto

v_{1i}=\sqrt{v_0^2-2\mu g\,\Delta x} = \sqrt{25-2\times 0.45\times 10\times 1}= 4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3 Velocidades tras el impacto

Por la conservación de la cantidad de movimiento

m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}=m_1 v_{1f} + m_2v_{2f}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1f}+4v_{2f}=4

Por ser una colisión elástica

1 = \frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}\qquad\Rightarrow\qquad v_{2f}-v_{1i}=4

lo que da

v_{1f}=-2.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v_{1f}=1.6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4 Detención de la masa 1

Aplicando el teorema trabajo-energía cinética

0-\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^2=-\mu m_1 g \,\Delta x \qquad\Rightarrow\qquad \Delta x = \frac{v_{1f}^2}{2\mu g}=\frac{2.4^2}{2\times 0.45\times 10}=0.64\,\mathrm{m}

Respecto a la posición inicial

x_f=1.0-0.64 = 0.36\,\mathrm{m}

5 Compresión del resorte

Por conservación de la energía mecánica

No se pudo entender (función desconocida\v): \frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2 + 0 = 0 + \frac{1}{2}k A^2 \qquad\Rightarrow\qquad A= \sqrt{\frac{m_2}{k}}\v_{2f}=\sqrt{\frac{4}{400}}1.6=0.16\,\mathrm{m}

Respecto del origen de coordenadas

x_{2f}=1.0+0.16 = 1.16\,\mathrm{m}

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