Enunciado

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad y separados por una distancia . En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.

  1. Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
  2. Si , y , calcula el valor mínimo de para que los coches no colisionen.

Solución

Archivo:F1GIC cochesAutopistaEsquema.png

El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia . En ese instante el coche que va delante (representado por ) empieza a frenar con aceleración constante . El coche que va detras () sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante . A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración , su velocidad inicial es y su posición inicial es . Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene

Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, y . En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos

En el coche 1 se encuentra en la coordenada y tiene velocidad . Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos en vez de .

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es

Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de . La de es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es

El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene. Para que los dos coches no colisionen es necesario que en la distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de para tenemos

Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición

Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos

Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

Comentario

Si el valor de es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo . Para que esto no ocurra debe cumplirse

Hemos usado la expresión de para el intervalo de tiempo y los valores numéricos del apartado b.