Masa deslizando verticalmente sobre otra masa con un muelle, Nov 2017 (G.I.C.)

Enunciado

El bloque de masa $M$ y longitud $L$ de la figura se mueve hacia la derecha, con una aceleración constante ${\vec {a}}=a\,{\vec {\imath }}$. Un bloque pequeño de masa $m$ puede deslizar sobre la cara lateral del bloque grande. Un muelle horizontal, con constante elástica $k$ y longitud natural nula, está anclado en el lado izquierdo del bloque grande. El muelle se mantiene siempre horizontal. El contacto entre los dos bloques es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático $\mu =0.5$. ¿Para que valores de $a$ el bloque pequeño no desliza sobre el grande?

Solución

La figura de la izquierda muestra el diagrama de cuerpo libre de la masa $m$. Expresadas en el sistema de ejes de la figura del enunciado tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{m}=-mg\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{k}=-kL\,{\vec {\imath }},\\{\vec {\Phi }}_{m}=N_{m}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {F}}_{R}=f\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Si la masa debe moverse con aceleración $a$ hacia la derecha, la Segunda Ley de Newton nos dice

$m{\vec {a}}={\vec {P}}_{m}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {\Phi }}_{m}+{\vec {F}}_{R}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &ma=N_{m}-kL&(1)\\Y)&\to &0=-mg+f&(2)\end{array}}\right.$

Entonces, para que la masa no se mueva debe ocurrir

${\vec {F}}_{R}=mg\,{\vec {\jmath }},\qquad {\vec {\Phi }}=(ma+kL)\,{\vec {\imath }}.$

Para que esta situación de equilibrio sea posible este valor de la fuerza de rozamiento debe ser menor que el valor máximo que puede alcanzar

$|{\vec {F}}_{R}|\leq \mu |{\vec {\Phi }}|\Longrightarrow mg\leq \mu \,(ma+kL)\Longrightarrow a\geq \left({\dfrac {g}{\mu }}-{\dfrac {kL}{m}}\right)$

Teniendo en cuenta el valor de $\mu$ llegamos a

$a\geq \left(2g-{\dfrac {kL}{m}}\right)$