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Cinco resistencias iguales

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

  1. En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra.
  2. En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra.
  3. En A se conecta una fuente de 24mV, B y C se conectan a tierra.
  4. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de 6mV y B se conecta a tierra.
  5. En A se conecta una fuente de 24mV, en B una de −24mV y C se conecta a tierra.
  6. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de −24mV y B se conecta a tierra.

2 Introducción

Este problema se puede resolver de forma general, dando como resultado una expresión matricial para las corrientes que entran por A, B y C en función de los voltajes de estos nodos. Más adelante se describe esta solución general, aplicable a todos los apartados del problema.

Aparte de este caso general, muchos casos particulares pueden simplificarse aplicando asociaciones en serie y en paralelo de resistencias.

3 Primer caso

En el primer caso, el nodo C está abierto, es decir, no tiene fuente conectada, por lo que por C no entra ni sale corriente.

En este caso, al ser todas las resistencias iguales y tener simetría, el voltaje en el nodo C será la media entre el del A y el B.

Lo mismo ocurre con el nodo D, que sería el superior.

Esto hace que entre C y D no haya diferencia de potencial y por tanto, por la rama central no circule corriente.

Esto puede verse quizá de forma más evidente mediante este esquema equivalente al del enunciado


El sistema se reduce entonces a dos ramas en paralelo, ya que la resistencia central es como si no estuviera. La rama superior, pasando por D, tiene resistencia 2R, y la rama inferior, pasando por C, tiene también resistencia 2R, siendo R = 12\,\Omega.

La resistencia equivalente del conjunto es

R_\mathrm{eq}=\frac{(2R)(2R)}{2R+2R}=R=12\,\Omega

y por tanto la intensidad que entra por A (y sale por B) vale

I_A=\frac{V_A-V_B}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{12\,\Omega}=2\,\mathrm{mA}

y, para los otros dos terminales

I_C=0\qquad\qquad I_B=-I_A=-2\,\mathrm{mA}

4 Segundo caso

En el segundo caso tenemos

V_A=24\,\mathrm{mV}\qquad\qquad V_C=0\qquad\qquad I_B=0

Este caso también se puede reducir a asociaciones en serie y en paralelo, aunque ya no hay simetría.

Para ir de A (entrada de la corriente) a C (salida de la corriente) hay dos caminos en paralelo. Uno va directo y tiene resistencia R. El otro va pasando por D y está formado por dos elementos en serie: una resistencia R y una asociación en paralelo de una resistencia R y una resistencia 2R. El esquema se puede reescribir de esta forma:

La resistencia equivalente de la rama superior es

R_2 = R + \frac{R\cdot 2R}{R+2R} = R+ \frac{2}{3}R=\frac{5}{3}R=20\,\Omega

de manera que la resistencia equivalente del conjunto es

R_\mathrm{eq}=\frac{(5R/3)R}{(5R/3)+R}=\frac{5}{8}R=7.5\,\Omega

siendo la corriente que entra por A

I_A=\frac{V_A-V_C}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{7.5\,\Omega}=3.2\,\mathrm{mA}

y, para los otros dos terminales

I_C=-3.2\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_B=0\,\mathrm{mA}

5 Tercer caso

Al poner los terminales B y C a tierra, estamos cortocircuitando la resistencia que entre estos dos nodos, ya que al estar al mismo potencial ya no circula corriente por ella.

Ahora el sistema se reduce a

(obsérvese que aunque B y C están en puntos distintos, entre ellos no hay resistencia alguna, por lo que están al mismo potencial)

La resistencia equivalente de la rama superior es ahora

R_2 = R + \frac{R\cdot R}{R+R} = R+ \frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R=18\,\Omega

y la del conjunto

R_\mathrm{eq}=\frac{(3R/2)R}{(3R/2)+R}=\frac{3}{5}R=7.2\,\Omega

siendo la corriente que entra por A

I_A=\frac{V_A-V_C}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{7.2\,\Omega}=3.33\,\mathrm{mA}

La intensidad de corriente que sale por B y la que sale por C son diferentes, ya que están conectados de distinta forma a A. Según hemos dicho, desde A salen dos ramas en paralelo: una con resistencia R y una con resistencia R2. La corriente se reparte entre ambas en la forma

I_1=\frac{R_2}{R+R_2}I=\frac{3R/2}{3R/2+R}I=\frac{3}{5}I=2.00\,\mathrm{mA}

y

I_2=\frac{R}{R+R_2}I=\frac{R}{3R/2+R}I=\frac{2}{5}I=1.33\,\mathrm{mA}

A su vez, esta corriente se divide en dos iguales, una por cada rama en paralelo.

I_{2a}=I_{2b}=\frac{I_2}{2}=0.67\,\mathrm{mA}

La corriente que sale por B es una de estas dos mitades

I_B = -0.67\,\mathrm{mA}

mientras que por C sale la otra mitad más la que va directamente desde A a C

I_C = -\left(I_1+\frac{I_2}{2}\right)=-2.67\,\mathrm{mA}

6 Solución general

Para el caso de que los tres voltajes, pero también para los caso anteriores, es más interesante hallar una solución general. Tenemos cinco resistencias y por cada una circulará una cierta corriente, cumpliéndose en cada una la ley de Ohm. Según el esquema de la figura

I_1=\frac{V_A-V_D}{R}\qquad\qquad  I_2=\frac{V_D-V_B}{R}\qquad\qquad I_3=\frac{V_A-V_C}{R}

 

I_4=\frac{V_C-V_B}{R}\qquad\qquad  I_5=\frac{V_D-V_C}{R}

Aplicando aquí la 1ª ley de Kirchhoff para cada uno de los cuatro nodos queda

I_A-I_1-I_3=0\qquad\qquad I_2+I_4+I_B=0\qquad\qquad I_1+I_5+I_C-I_4=0\qquad\qquad I_1-I_2-I_5=0

siendo IA la intensidad que entra por A, y análogamente para IB e IC. Por D no entra corriente.

El criterio es que se suman todas las corrientes que llegan a un nodo, precediéndolas de un signo - si salen de él. Esto no presupone que el resultado de cada una de estas intensidades vaya a ser un número positivo. Por ejemplo, necesariamente en B alguna de las tres intensidades debe resultar negativa.

Con este sistema ya es suficiente para analizar cada caso, pero podemos dar una solución general para IA, IB e IC en función de VA, VB y VC.

Sustituimos la ley de Ohm en la ley de Kirchhoff para el nodo D y obtenemos el voltaje de este nodo

\frac{V_A-V_D}{R}-\frac{V_D-V_B}{R}-\frac{V_D-V_C}{R}=0\qquad\Rightarrow\qquad V_D=\frac{V_A+V_B+V_C}{3}

y llevamos este resultado al resto de nodos. Sustituimos en la ecuación para el nodo A

I_A = I_1+I_3=\frac{V_A-V_D}{R}+\frac{V_A-V_C}{3}=\frac{5V_A-V_B-4V_C}{3R}

Sustituimos en la del nodo B

I_B = -I_2-I_4=\frac{-V_A+5V_B-4V_C}{3R}

y en la del C

I_C=-I_3-I_5+I_4=\frac{-4V_A-4V_B+8V_C}{3R}

Este resultado se puede escribir en la forma matricial

No se pudo entender (función desconocida\matrix): \left(\begin{matrix}I_A\\I_B\\I_C\end{matrix}\right)=\frac{1}{3R}\left(\matrix{5&-1&-4\\-1&5&-4\\-4&-4&8}\right)\cdot\left(\begin{matrix}V_A\\V_B\\V_C\end{matrix}\right)

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