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Cinco resistencias iguales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 113: Línea 113:
==Solución general==
==Solución general==
Para el caso de que los tres voltajes, pero también para los caso anteriores, es más interesante hallar una solución general. Tenemos cinco resistencias y por cada una circulará una cierta corriente, cumpliéndose en cada una la ley de Ohm. Según el esquema de la figura
Para el caso de que los tres voltajes, pero también para los caso anteriores, es más interesante hallar una solución general. Tenemos cinco resistencias y por cada una circulará una cierta corriente, cumpliéndose en cada una la ley de Ohm. Según el esquema de la figura
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<center>[[Archivo:5-resistencias-05.png|437px]]</center>
<center><math>I_1=\frac{V_A-V_D}{R}\qquad\qquad  I_2=\frac{V_D-V_B}{R}\qquad\qquad I_3=\frac{V_A-V_C}{R}</math></center>
<center><math>I_1=\frac{V_A-V_D}{R}\qquad\qquad  I_2=\frac{V_D-V_B}{R}\qquad\qquad I_3=\frac{V_A-V_C}{R}</math></center>

Revisión de 18:22 16 abr 2020

Contenido

1 Enunciado

Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

  1. En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra.
  2. En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra.
  3. En A se conecta una fuente de 24mV, B y C se conectan a tierra.
  4. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de 6mV y B se conecta a tierra.
  5. En A se conecta una fuente de 24mV, en B una de −24mV y C se conecta a tierra.
  6. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de −24mV y B se conecta a tierra.

2 Introducción

Este problema se puede resolver de forma general, dando como resultado una expresión matricial para las corrientes que entran por A, B y C en función de los voltajes de estos nodos. Más adelante se describe esta solución general, aplicable a todos los apartados del problema.

Aparte de este caso general, muchos casos particulares pueden simplificarse aplicando asociaciones en serie y en paralelo de resistencias.

3 Primer caso

En el primer caso, el nodo C está abierto, es decir, no tiene fuente conectada, por lo que por C no entra ni sale corriente.

En este caso, al ser todas las resistencias iguales y tener simetría, el voltaje en el nodo C será la media entre el del A y el B.

Lo mismo ocurre con el nodo D, que sería el superior.

Esto hace que entre C y D no haya diferencia de potencial y por tanto, por la rama central no circule corriente.

Esto puede verse quizá de forma más evidente mediante este esquema equivalente al del enunciado


El sistema se reduce entonces a dos ramas en paralelo, ya que la resistencia central es como si no estuviera. La rama superior, pasando por D, tiene resistencia 2R, y la rama inferior, pasando por C, tiene también resistencia 2R, siendo R = 12\,\Omega.

La resistencia equivalente del conjunto es

R_\mathrm{eq}=\frac{(2R)(2R)}{2R+2R}=R=12\,\Omega

y por tanto la intensidad que entra por A (y sale por B) vale

I_A=\frac{V_A-V_B}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{12\,\Omega}=2\,\mathrm{mA}

y, para los otros dos terminales

I_C=0\qquad\qquad I_B=-I_A=-2\,\mathrm{mA}

4 Segundo caso

En el segundo caso tenemos

V_A=24\,\mathrm{mV}\qquad\qquad V_C=0\qquad\qquad I_B=0

Este caso también se puede reducir a asociaciones en serie y en paralelo, aunque ya no hay simetría.

Para ir de A (entrada de la corriente) a C (salida de la corriente) hay dos caminos en paralelo. Uno va directo y tiene resistencia R. El otro va pasando por D y está formado por dos elementos en serie: una resistencia R y una asociación en paralelo de una resistencia R y una resistencia 2R. El esquema se puede reescribir de esta forma:

La resistencia equivalente de la rama superior es

R_2 = R + \frac{R\cdot 2R}{R+2R} = R+ \frac{2}{3}R=\frac{5}{3}R=20\,\Omega

de manera que la resistencia equivalente del conjunto es

R_\mathrm{eq}=\frac{(5R/3)R}{(5R/3)+R}=\frac{5}{8}R=7.5\,\Omega

siendo la corriente que entra por A

I_A=\frac{V_A-V_C}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{7.5\,\Omega}=3.2\,\mathrm{mA}

y, para los otros dos terminales

I_C=-3.2\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_B=0\,\mathrm{mA}

5 Tercer caso

Al poner los terminales B y C a tierra, estamos cortocircuitando la resistencia que entre estos dos nodos, ya que al estar al mismo potencial ya no circula corriente por ella.

Ahora el sistema se reduce a

(obsérvese que aunque B y C están en puntos distintos, entre ellos no hay resistencia alguna, por lo que están al mismo potencial)

La resistencia equivalente de la rama superior es ahora

R_2 = R + \frac{R\cdot R}{R+R} = R+ \frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R=18\,\Omega

y la del conjunto

R_\mathrm{eq}=\frac{(3R/2)R}{(3R/2)+R}=\frac{3}{5}R=7.2\,\Omega

siendo la corriente que entra por A

I_A=\frac{V_A-V_C}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{7.2\,\Omega}=3.33\,\mathrm{mA}

La intensidad de corriente que sale por B y la que sale por C son diferentes, ya que están conectados de distinta forma a A. Según hemos dicho, desde A salen dos ramas en paralelo: una con resistencia R y una con resistencia R2. La corriente se reparte entre ambas en la forma

I_1=\frac{R_2}{R+R_2}I=\frac{3R/2}{3R/2+R}I=\frac{3}{5}I=2.00\,\mathrm{mA}

y

I_2=\frac{R}{R+R_2}I=\frac{R}{3R/2+R}I=\frac{2}{5}I=1.33\,\mathrm{mA}

A su vez, esta corriente se divide en dos iguales, una por cada rama en paralelo.

I_{2a}=I_{2b}=\frac{I_2}{2}=0.67\,\mathrm{mA}

La corriente que sale por B es una de estas dos mitades

I_B = -0.67\,\mathrm{mA}

mientras que por C sale la otra mitad más la que va directamente desde A a C

I_C = -\left(I_1+\frac{I_2}{2}\right)=-2.67\,\mathrm{mA}

6 Solución general

Para el caso de que los tres voltajes, pero también para los caso anteriores, es más interesante hallar una solución general. Tenemos cinco resistencias y por cada una circulará una cierta corriente, cumpliéndose en cada una la ley de Ohm. Según el esquema de la figura

I_1=\frac{V_A-V_D}{R}\qquad\qquad  I_2=\frac{V_D-V_B}{R}\qquad\qquad I_3=\frac{V_A-V_C}{R}

 

I_4=\frac{V_C-V_B}{R}\qquad\qquad  I_5=\frac{V_D-V_C}{R}

Aplicando aquí la 1ª ley de Kirchhoff para cada uno de los cuatro nodos queda

I_A-I_1-I_3=0\qquad\qquad I_2+I_4+I_B=0\qquad\qquad I_1+I_5+I_C-I_4=0\qquad\qquad I_1-I_2-I_5=0

siendo IA la intensidad que entra por A, y análogamente para IB e IC. Por D no entra corriente.

El criterio es que se suman todas las corrientes que llegan a un nodo, precediéndolas de un signo - si salen de él. Esto no presupone que el resultado de cada una de estas intensidades vaya a ser un número positivo. Por ejemplo, necesariamente en B alguna de las tres intensidades debe resultar negativa.

Con este sistema ya es suficiente para analizar cada caso, pero podemos dar una solución general para IA, IB e IC en función de VA, VB y VC.

Sustituimos la ley de Ohm en la ley de Kirchhoff para el nodo D y obtenemos el voltaje de este nodo

\frac{V_A-V_D}{R}-\frac{V_D-V_B}{R}-\frac{V_D-V_C}{R}=0\qquad\Rightarrow\qquad V_D=\frac{V_A+V_B+V_C}{3}

y llevamos este resultado al resto de nodos. Sustituimos en la ecuación para el nodo A

I_A = I_1+I_3=\frac{V_A-V_D}{R}+\frac{V_A-V_C}{3}=\frac{5V_A-V_B-4V_C}{3R}

Sustituimos en la del nodo B

I_B = -I_2-I_4=\frac{-V_A+5V_B-4V_C}{3R}

y en la del C

I_C=-I_3-I_5+I_4=\frac{-4V_A-4V_B+8V_C}{3R}

Este resultado se puede escribir en la forma matricial

No se pudo entender (función desconocida\matrix): \left(\begin{matrix}I_A\\I_B\\I_C\end{matrix}\right)=\frac{1}{3R}\left(\matrix{5&-1&-4\\-1&5&-4\\-4&-4&8}\right)\cdot\left(\begin{matrix}V_A\\V_B\\V_C\end{matrix}\right)

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