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Cinética de un cono (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un cono homogéneo, de radio de la base R, altura H y masa m distribuida uniformemente.

  1. Localice la posición del centro de masas del cono empleando un sistema de ejes en el que el cono tiene su vértice en el origen de coordenadas y el eje del cono es el OZ.
  2. Calcule los momentos de inercia respecto al eje del cono, OZ, y los ejes ortogonales OY y OX
  3. Halle el momento de inercia respecto a dos ejes, paralelos a OX y OY por el centro de masas.
  4. Supongamos que el cono se hace girar con velocidad angular constante Ω alrededor de una generatriz, que se toma como eje OZ2.
    1. ¿Cuánto vale su momento cinético respecto al vértice del cono, O?
    2. ¿Cuánto vale su energía cinética?
    3. Calcule la fuerza y el momento que es necesario aplicar en O para mantener el cono en la rotación anterior. ¿Hay algún caso en que se anulen?

2 Centro de masas

Por la simetría del sistema el CM debe estar en x = 0, y = 0, es decir, sobre el eje OZ. La altura a la que se halla el CM la calculamos como

z_G=\frac{1}{m}\int_{m} z\,\mathrm{d}m

Los elementos de masa los construimos dividiendo el cono en discos horizontales de radio r y espesor diferencial dz

\mathrm{d}m=\rho\,\mathrm{d}V=\rho\,\pi r^2 \,\mathrm{d}z

La relación entre el radio de cada disco y su altura lo da el que la generatriz sea una recta

\frac{r}{z}= \frac{R}{H}\qquad\Rightarrow\qquad r = \frac{zR}{H}

Lo que nos da la integral

z_G=\frac{1}{m}\int_{0}^H \frac{\rho\pi z^3 R^2}{H^2}\,\mathrm{d}z=\frac{\rho\pi \R^2 H^2}{4m}

La densidad de masa la relacionamos con la masa a través del volumen que podemos calcular de la misma manera

m=\rho\int_0^H \frac{\rho\pi z^2 R^2}{H^2}\,\mathrm{d}z = \frac{\rho\pi R^2H}{3}\qquad\Rightarrow\qquad \rho=\frac{3m}{\pi R^2 H}

lo que nos da

z = \frac{3}{4}H

El CM se encuentra a 3/4 de la altura respecto del vértice y 1/4 respecto de la base.

3 Tensor de inercia

3.1 Momentos de inercia

3.1.1 Respecto al eje OZ

Este eje es el propio del cono. Como con el centro de masas, descponemos el cono en discos, cada uno de los cuales tiene un momento de inercia

No se pudo entender (función desconocida\matrm): \matrm{d}I_{zz}= \frac{1}{2}\mathrm{d}m r^2 = \frac{\rho\pi }{2}r^4 \,\mathrm{d}z=\frac{\rho\pi R^4}{2H^4}z^4\,\mathrm{d}z

Integramos para todo el cono

I_{zz}=\int_0^H\mathrm{d}I_{zz}=\frac{\rho\pi R^4}{2H^4}\int_0^H z^4\,\mathrm{d}z =\frac{\rho\pi R^4H}{10}

Sustituimos el valor de la densidad de masa y queda

I_{zz}=\frac{3}{10}mR^2

3.1.2 Respecto al eje OX (y al OY)

Por la simetría de revolución del sistema, los momentos de inercia respecto a OX y a OY son iguales.

I_{xx}=I_{yy}\,

Obtenemos uno de llos descomponiendo de nuevo el cono en discos. Para cada disco, el eje OX es una paralelo a un diámetro del disco. Por el teorema de Steiner, el momento de inercia de cada disco diferencial es

\mathrm{d}I_{xx}=\frac{1}{4}\mathrm{d}m r^2 + \mathrm{d}m z^2

Sustituimos las diferentes cantidades

\mathrm{d}I_{xx}=\rho \pi r^2\left(\frac{1}{4}r^2+z^2\right)\mathrm{d}z=\frac{\rho \pi R^2}{H^2}\left(\frac{1}{4}\frac{R^2}{H^2}+1\right)z^4\mathrm{d}z=\frac{\rho\pi R^2(R^2+4H^2)}{4H^4}z^4\,\mathrm{d}z

Integramos para todo el cono y queda

I_{xx}=\int_0^H \mathrm{d}I_{xx}=\frac{\rho\pi R^2H(R^2+4H^2)}{20}

Sustituimos aquí la densidad de masa y obtenemos finalmente

I_{xx}=I_{yy}=\frac{3m(R^2+4H^2)}{20}

3.2 Productos de inercia

Debido a la simetría del sistema todos los productos de inercia se anulan. En cada una de las integrales por cada valor de x positivo existe uno igual con x negativo y lo mismo con y. Por tanto

I_{xy}=I_{xz}=I_{yz}=0\,

Esto nos deja con un tensor de inercia diagonal

\bar{\bar{I}}=\frac{3m}{20}\begin{pmatrix}R^2+4H^2 & 0 & 0 \\ 0 & R^2+4H^2 & 0 \\ 0 & 0 & 2R^2\end{pmatrix}

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