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Centro de masas de cuatro partículas en un cuadrado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tienen 4 masas que ocupan los vértices de un cuadrado de lado b=1\,\mathrm{m}. Calcule la posición del centro de masas del sistema en cada uno de los casos siguientes

  1. m_1=m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.
  2. m_1=m_2=3\,\mathrm{kg}, m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.
  3. m_1=m_4=3\,\mathrm{kg}, m_2=m_3=1\,\mathrm{kg}.
  4. m_1=m_3=3\,\mathrm{kg}, m_2=m_4=1\,\mathrm{kg}.
  5. m_1=47\,\mathrm{kg}, m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}.

2 Introducción

Para un sistema de n masas puntuales, cada una con una masa mi y un vector de posición \vec{r}_i, la posición del centro de masas (CM) viene dada por la expresión


\vec{r}_C = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}

En este caso tenemos cuatro masas. Utilizando el sistema de ejes de la figura sus vectores de posición son


\begin{array}{l}
\displaystyle \vec{r}_1 = \vec{0}\\ \\
\displaystyle \vec{r}_2 = b\,\vec{\imath}\\ \\
\displaystyle \vec{r}_3 = b\,\vec{\imath} +b\,\vec{\jmath}\\ \\
\displaystyle \vec{r}_4 = b\,\vec{\jmath}
\end{array}

Aplicando la expresión que nos da el CM tenemos


\displaystyle \vec{r}_{c} = \frac{m_2+m_3}{m_1+m_2+m_3+m_4}b\vec{\imath}+\frac{m_3+m_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}b\vec{\imath}

Examinemos cada uno de los casos planteados.

3 Todas las masas iguales

En esta situación obtenemos


\vec{r}_{c}=\left(\frac{2}{4}\vec{\imath}+\frac{2}{4}\vec{\jmath}\right)\mathrm{m}=50(\vec{\imath}+\vec{\jmath})\mathrm{cm}

El CM se halla en el centro del cuadrado.

Imagen:Cuatro-masas-iguales.png

En un sistema que tenga un plano de simetría, el CM se encuentra sobre éste. En el caso del cuadrado con las cuatro masas iguales tenemos diferentes planos de simetría, por ejemplo dos rectas paralelas a los ejes por el centro. El CM se encuentra en la intersección de estas. Igualmente podríamos haber considerado la intersección de las dos diagonales.

4 Masas iguales contiguas (1)

Si m_1=m_2=3\,\mathrm{kg}, y m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}, aplicando la expresión tenemos


\displaystyle \vec{r}_c = \frac{3\vec{\imath}+(\vec{\imath}+\vec{\jmath})+\vec{\jmath}}{3+3+1+1}= \left(\frac{1}{2}\vec{\imath}+\frac{1}{4}\vec{\jmath}\right)\mathrm{m}=\left(50\vec{\imath}+25\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}

En este caso el CM se encuentra por debajo del centro del cuadrado.

Imagen:Cuatro-masas-iguales-contiguas.png

La vertical que pasa por el centro del cuadrado sigue siendo un eje de simetría, por lo que el CM se encuentra en él, pero la horizontal ya no lo es.

Las masas más pesadas “tiran” del CM hacía ellas. En este caso, que las masas inferiores cuentan el triple que las superiores, la distancia vertical del CM a las inferiores es 1/3 de la distancia a las superiores.

5 Masas iguales contiguas (2)

Si m_1=m_4=3\,\mathrm{kg}, y m_2=m_3=1\,\mathrm{kg}, tenemos el mismo sistema, pero girado 90°. Por tanto


\displaystyle \vec{r}_c = \frac{\vec{\imath}+(\vec{\imath}+\vec{\jmath})+3\vec{\jmath}}{3+3+1+1}= \left(\frac{1}{4}\vec{\imath}+\frac{1}{2}\vec{\jmath}\right)\mathrm{m}=\left(25\vec{\imath}+50\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}

En este caso el CM se encuentra a la izquierda del centro del cuadrado.

Imagen:Cuatro-masas-iguales-contiguas-02.png

Vemos que en ocasiones, la simple observaciónde la geometría del sistema puede evitar repetir los cálculos.

6 Masas iguales opuestas

Si m_1=m_3=3\,\mathrm{kg}, y m_2=m_4=1\,\mathrm{kg}, la expresión nos da


\displaystyle \vec{r}_c = \frac{\vec{\imath}+3(\vec{\imath}+\vec{\jmath})+\vec{\jmath}}{3+3+1+1}= \left(\frac{1}{2}\vec{\imath}+\frac{1}{2}\vec{\jmath}\right)\mathrm{m}=\left(50\vec{\imath}+50\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}

En este caso el CM se encuentra de nuevo en el centro del cuadrado.

Imagen:Cuatro-masas-iguales-opuestas.png

Ahora, ni la vertical ni la horizontal por el centro son ejes de simetría, pero las diagonales si lo son. El CM se encuentra en la intersección de ellas, es decir, en el centro.

7 Una masa mucho más pesada que el resto

Si m_1=47\,\mathrm{kg}, y m_2=m_3=m_4=1\,\mathrm{kg}, la masa 1 es mucho más pesada que las otras tres. La expresión nos da


\displaystyle \vec{r}_c = \frac{\vec{\imath}+(\vec{\imath}+\vec{\jmath})+\vec{\jmath}}{47+1+1+1}= \left(\frac{1}{25}\vec{\imath}+\frac{1}{25}\vec{\jmath}\right)\mathrm{m}=\left(4\vec{\imath}+4\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{cm}

En este caso el CM se encuentra muy cerca de la masa pesada

Imagen:Cuatro-masas-iguales-m1pesada.png

La diagonal 1-3 sigue siendo un eje de simetría, pero la masa 1 pesa tanto, que el CM se halla muy próximo a ella.

Esto es lo que ocurre en sistemas con masas muy desiguales, como el sistema Tierra-Luna. Nuestro satélite gira en realidad alrededor del CM del sistema, pero éste se halla en el interior de la Tierra, cerca del centro geométrico de ésta.

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