Enunciado

Una partícula de masa está engarzada en un semiaro de radio . Un muelle de constante elástica y longitud natural nula conecta la partícula y el punto del semiaro. La gravedad no actúa.

  1. Dibuja el diagrama de fuerzas de la partícula.
  2. Escribe la expresión que da el momento cinético de la partícula respecto al punto .
  3. Aplicando el Teorema del Momento Cinético, encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula. La fuerza vincular es perpendicular al aro, es decir, radial. La fuerza del muelle apunta hacia el punto de anclaje del muelle . Las expresiones de estas fuerzas son

Hemos usado los vectores


Momento cinético

El momento cinético respecto del punto es

El vector velocidad es

Haciendo el producto vectorial obtenemos

Ecuación de movimiento

El Teorema del Momento Cinético aplicado en el punto dice

El término de la derecha es el momento neto respecto de de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Tenemos

El primer primer vectorial es nulo pues los dos vectores son paralelos. En el segundo hemos usado que, según el enunciado, . El momento neto es

La derivada del momento cinético es

Por tanto la ecuación de movimiento es