Esfera sobre dos raíles (G.I.A.)

Enunciado

Una esfera de radio $R$ (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios $R$ y $2R$ (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro $C$ realiza un movimiento circular uniforme, siendo $v_{0}$ el módulo de su velocidad. Considerando cómo sólido móvil intermedio (sólido "0") al plano $O_{1}X_{0}Z_{0}$ que contiene en todo instante al centro $C$ de la esfera (ver figura), calcula:

1. Los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
2. Reducciones cinemáticas de dichos movimientos,
3. Para el punto de la esfera en contacto con el carril de mayor diámetro (punto $B$), los vectores ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$

Solución

Este problema es algo diferente de los anteriores. Los datos cinemáticos que nos dan son las velocidades absolutas de los puntos $A$, $B</math> y $C</math>. Por un lado la esfera (sólido "2") rueda sin deslizar sobre los carriles (sólido "1"), por tanto ${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}$. Por otro lado, el centro de la esfera realiza un movimiento circular uniforme, por lo que $|{\vec {v}}_{21}^{C}|=v_{0}$. Usando la base vectorial del sólido "0" que gira con el centro de la esfera, los datos cinemáticos son por tanto

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{C}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Además, podemos observar que el sólido "0", que sigue a la esfera en su movimiento, realiza una rotación permanente alrededor del eje $O_{1}Z_{1}$, de modo que podemos escribir

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{0}$

Dado que tenemos la velocidad del movimiento {21} en tres puntos no alineados, esto nos permite calcular ${\vec {\omega }}_{21}$. En este caso analizaremos primero el movimiento {21} y a partir de él obtendremos la descripción de los otros movimientos.

Movimiento {21}

Como ${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}$, el eje instantáneo del movimiento {21} pasa por esos dos puntos, es decir, ${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {\imath }}_{0}$. Pero entonces también pasa en todo instante por el origen de coordenadas, $O_{1}$. Podemos decir entonces que el punto $O_{1}$ es un punto fijo en este movimiento, y por tanto

${\vec {v}}_{21}^{O_{1}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{21}^{O_{1}}={\vec {0}}$

Usando la ecuación del campo de velocidades, tenemos

${\vec {v}}_{21}^{C}=v_{o}\,{\vec {\jmath }}_{0}={\vec {v}}_{21}^{O_{1}}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}C}}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}C}}$

Necesitamos el vector geométrico ${\overrightarrow {O_{1}C}}$. Si nos fijamos en la figura adjunta, observamos que el triángulo $ABC$ es equilátero, pues la distancia entre los raíles es $R$, el radio de la esfera. Los tres ángulos son entonces de $\pi /3$ radianes, con lo que podemos calcular la altura del triángulo, que es la coordenada $z_{0}$ del punto $C$. Obtenemos las coordenadas respecto a $O_{1}$ en la base vectorial del sólido "0"

${\begin{array}{c}A(R,0,0)_{0}\qquad B(2R,0,0)_{0}\qquad C(3R/2,{\sqrt {3}}R/2,0)_{0}\\\\{\overrightarrow {O_{1}C}}={\dfrac {3R}{2}}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\dfrac {{\sqrt {3}}R}{2}}\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}$

Podemos plantear ahora la ecuación obtenida a partir del campo de velocidades

${\begin{array}{c}v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}C}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}_{0}&{\vec {\jmath }}_{0}&{\vec {k}}_{0}\\\omega _{21}&0&0\\3R/2&0&{\sqrt {3}}R/2\end{array}}\right|=-\omega _{21}{\dfrac {{\sqrt {3}}R}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\Rightarrow \\\\{\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {2v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}$

La reducción del movimiento {21} en $O_{1}$ es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {2v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}\,{\vec {\imath }}_{0}&\qquad &{\vec {v}}_{21}^{O_{1}}={\vec {0}}\\\Delta _{\mathrm {EIR} }\quad \equiv \quad O_{1}X_{0}&&\end{array}}$

Movimiento {01}

Hemos de calcular la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}$. El punto $O_1</math> es también un punto fijo en {01}, pues pertenece al eje de giro, entonces

${\vec {v}}_{01}^{O_{1}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{01}^{O_{1}}={\vec {0}}$

Por definición, el sólido "0" se mueve de modo que el punto $C$ esta siempre en el plano $O_{1}X_{0}Z_{0}$. Entonces $C$ es un punto fijo en el movimiento {20}, y por tanto

${\vec {v}}_{20}^{C}={\vec {0}}$

Ahora bien, usando la regla de composición podemos escribir

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {v}}_{20}^{C}+{\vec {v}}_{01}^{C}\Rightarrow {\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {v}}_{21}^{C}-{\vec {v}}_{20}^{C}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Pero podemos escribir ${\vec {v}}_{01}^{C}$ usando el campo de velocidades del sólido en el movimiento {01}

${\begin{array}{c}{\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {v}}_{01}^{O_{1}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}C}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}_{0}&{\vec {\jmath }}_{0}&{\vec {k}}_{0}\\0&0&\omega _{01}\\3R/2&0&{\sqrt {3}}R/2\end{array}}\right|={\dfrac {3R}{2}}\omega _{01}\,{\vec {\jmath }}_{0}\Rightarrow \\\\{\vec {\omega }}_{01}={\dfrac {2v_{0}}{3R}}\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}$

La reducción de {01} en $O_{1}$ es

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{01}={\dfrac {2v_{0}}{3R}}\,{\vec {k}}_{0}={\dfrac {2v_{0}}{3R}}\,{\vec {k}}_{1}&\quad \quad &{\vec {v}}_{01}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\\Delta _{\mathrm {EPR} }\quad \equiv \quad O_{1}Z_{1}&&\end{array}}$

Movimiento {20}

Determinamos la velocidad angular a partir de la composición {20} = {21} + {10}

${\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}+{\vec {\omega }}_{10}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=-{\dfrac {2v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}\,{\vec {\imath }}_{0}-{\dfrac {2v_{0}}{3R}}\,{\vec {k}}_{0}$

El punto $O_{1}$ pertenece al eje instantáneo de {21} y {01}. Entonces también pertenece al eje del movimiento {20}. Tenemos

${\vec {v}}_{20}^{O_{1}}={\vec {v}}_{21}^{O_{1}}+{\vec {v}}_{10}^{O_{1}}={\vec {v}}_{21}^{O_{1}}-{\vec {v}}_{01}^{O_{1}}={\vec {0}}$

La reducción en $O_{1}$ queda

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{20}=-{\dfrac {2v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}\,{\vec {\imath }}_{0}-{\dfrac {2v_{0}}{3R}}\,{\vec {k}}_{0}&\qquad &{\vec {v}}_{20}^{O_{1}}={\vec {0}}\\&&\\\Delta _{\mathrm {EIR} }\quad \equiv \quad O_{1}C\quad \equiv \quad \lambda \,{\vec {\omega }}_{20}\end{array}}$

Vectores ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$

Una vez reducido el movimiento {20} en $C$, podemos aplicar la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido para calcular ${\vec {v}}_{20}^{B}$

${\vec {v}}_{20}^{B}={\vec {v}}_{20}^{C}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CB}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}_{0}&{\vec {\jmath }}_{0}&{\vec {k}}_{0}\\-2v_{0}/{\sqrt {3}}R&0&-2v_{0}/3R\\R/2&0&-{\sqrt {3}}R/2\end{array}}\right|=-{\dfrac {4v_{0}}{3}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Calculamos la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{B}$ aplicando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} y partiendo del punto fijo de este movimiento, $O_{1}$. Necesitamos el vector ${\vec {\alpha }}_{21}$. Podemos obtenerlo derivando ${\vec {\omega }}_{21}$

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-{\dfrac {2v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\imath }}_{0}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-{\dfrac {2v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}\left(\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\imath }}_{0}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\imath }}_{0}\right)=-{\dfrac {4v_{0}^{2}}{3{\sqrt {3}}R^{2}}}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Con esto podemos calcular el vector pedido

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{21}^{O_{1}}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {O_{1}B}})={\dfrac {8v_{0}^{2}}{3{\sqrt {3}}R}}\,{\vec {k}}_{0}$

En a figura siguiente se muestran los ejes instantáneos de rotación de los tres movimientos analizados en el problema, así como los dos vectores pedidos.