Partícula sometida a la acción de dos muelles (GIA)

Enunciado

Una partícula $P$, de masa $m$, se mueve en el plano horizontal sometida a la acción de dos resortes elásticos ideales e idénticos, de constante $k$ y longitud natural nula. Los puntos de anclaje son $C(-d,0)$ y $D(d,0)$, respectivamente

1. Escribe la ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula.
2. Si las condiciones iniciales son ${\vec {r}}(0)=a\,{\vec {\imath }}$ y ${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\jmath }}$, encuentra las expresiones que dan la posición y la velocidad de la partícula en todo instante de tiempo.
3. Determina, para todo instante de tiempo, el momento cinético, ${\vec {L}}_{O}$, de la partícula $P$ respecto al origen de coordenadas $O$, así como su energía mecánica, $E$. ¿Qué teoremas de conservación explican las propiedades de estas magnitudes en este problema?

Solución

Ecuación del movimiento

La expresión que da la ecuación del movimiento es la Segunda Ley de Newton

$m{\vec {a}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}$

donde, $m$ es la masa de la partícula, ${\vec {a}}$ su aceleración respecto de un sistema inercial y ${\vec {F}}_{i}$ las fuerzas que actúan sobre ella.

Usamos coordenadas cartesianas y el sistema de ejes de la figura. Al ser un movimiento plano podemos ignorar la componente de los vectores en el eje $OZ$. El vector de posición, la velocidad y la aceleración de la partícula son

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {r}}(t)=x(t)\,{\vec {\imath }}+y(t)\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {v}}(t)={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}+{\dot {y}}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {a}}(t)={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}+{\ddot {y}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.$

En este problema, considerando que el movimiento se desarrolla sobre un plano, la partícula está sometida a dos fuerzas, la de cada uno de los muelles. (Si hiciéramos el experimento sobre una mesa, el peso de la partícula se vería compensado en cada instante por la f.r.v. de la mesa, con lo que no afectan al movimiento). Como son dos resortes ideales, si el vector de posición de la partícula es ${\vec {r}}(t)$, la fuerza que ejerce sobre ella cada uno de los muelles es

${\vec {F}}_{C}=-k({\vec {r}}-{\vec {r}}_{C})\qquad \qquad {\vec {F}}_{D}=-k({\vec {r}}-{\vec {r}}_{D})$

Los vectores ${\vec {r}}_{C}$ y ${\vec {r}}_{D}$ son los vectores de posición de los puntos de anclaje de los muelles. Si escogemos el sistema de ejes de la figura estos vectores son

${\vec {r}}_{C}=-d\,{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {r}}_{D}=d\,{\vec {\imath }}$

En la coordenadas cartesianas que hemos elegido la expresión de las fuerzas es

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {F}}_{C}=-k\left((x+d)\,{\vec {i}}+y\,{\vec {\jmath }}\right)\\{\vec {F}}_{D}=-k\left((x-d)\,{\vec {i}}+y\,{\vec {\jmath }}\right)\end{array}}\right.$

Podemos escribir la ecuación del movimiento.

$m\,{\vec {a}}={\vec {F}}_{C}+{\vec {F}}_{D}=-k({\vec {r}}_{C}-{\vec {r}})-k({\vec {r}}_{D}-{\vec {r}})=-2k\,{\vec {r}}-k({\vec {r}}_{C}+{\vec {r}}_{D})$

Como podemos ver en la figura y en la expresión de los vectores, se cumple ${\vec {r}}_{C}+{\vec {r}}_{D}={\vec {0}}$. La ecuación se puede escribir

${\ddot {\vec {r}}}=-{\dfrac {2k}{m}}{\vec {r}}$

Esto es la ecuación de un movimiento armónico. La podemos escribir como

${\ddot {\vec {r}}}=-\omega ^{2}{\vec {r}}\qquad \qquad w={\sqrt {\dfrac {2k}{m}}}$

La solución general es una superposición de senos y cosenos. Lo único nuevo en esta ecuación es que los coeficientes de la combinación lineal son vectores en vez de escalares. Es decir, la solución es de la forma

${\vec {r}}(t)={\vec {A}}\cos(\omega t)+{\vec {B}}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

y la velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo

${\vec {v}}(t)=-\omega \,{\vec {A}}\,\mathrm {sen} \,(\omega t){\vec {\imath }}+\omega \,{\vec {B}}\cos(\omega t){\vec {\jmath }}$

Solución concreta

El enunciado nos da las condiciones iniciales

${\vec {r}}(0)=a\,{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\jmath }}$

Para aplicarlas evaluamos en $t=0$ las expresiones de ${\vec {r}}(t)$ y ${\vec {v}}(t)$ obtenidas en el apartado anterior

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {r}}(0)={\vec {A}}=a\,{\vec {\imath }}\Longrightarrow {\vec {A}}=a\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {v}}(0)=\omega \,{\vec {B}}\Longrightarrow {\vec {B}}={\dfrac {v_{0}}{\omega }}{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.$

Las expresiones de la posición y la velocidad en cada instante son

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {r}}(t)={\vec {\imath }}\,a\cos(\omega t)+{\vec {\jmath }}\,{\dfrac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\\\\{\vec {v}}(t)=-{\vec {\imath }}\,a\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)+{\vec {\jmath }}\,v_{0}\cos(\omega t)\end{array}}\qquad \qquad \omega ={\sqrt {\dfrac {2k}{m}}}\right.$

Momento cinético

El momento cinético respecto al origen en cada instante es

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times (m{\vec {v}})=m\,a\,v_{0}\,{\vec {k}}$

Vemos que no depende del tiempo. Eso se debe a que la fuerza resultante sobre la partícula es central respecto al punto $O$. Entonces

${\frac {\displaystyle \mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\displaystyle \mathrm {d} t}}={\vec {M}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times (-2k\,{\vec {r}})={\vec {0}}$

Energía cinética

La energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}m\,v^{2}={\dfrac {m}{2}}\left(a^{2}\omega ^{2}\,\mathrm {sen} \,^{2}(\omega t)+v_{0}^{2}\cos ^{2}(\omega t)\right)$

No permanece constante pues la velocidad de la partícula cambia con el tiempo.

Por otro lado, la energía potencial asociada a los muelles es

$U={\dfrac {1}{2}}k|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{C}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}k|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{D}|^{2}$

Tenemos

$\left.{\begin{array}{lll}{\vec {r}}-{\vec {r}}_{C}=(x+d)\,{\vec {\imath }}+y\,{\vec {\jmath }}&\Longrightarrow &|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{C}|^{2}=(x+d)^{2}+y^{2}\\\\{\vec {r}}-{\vec {r}}_{D}=(x-d)\,{\vec {\imath }}+y\,{\vec {\jmath }}&\Longrightarrow &|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{D}|^{2}=(x-d)^{2}+y^{2}\end{array}}\right.$

Entonces

$U={\dfrac {k}{2}}\left(|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{C}|^{2}+|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{D}|^{2}\right)=k(x^{2}+y^{2})+kd^{2}=k\left[a^{2}\cos ^{2}(\omega t)+{\dfrac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}\,\mathrm {sen} \,^{2}(\omega t)\right]+kd^{2}$

Tampoco es constante pues la elongación de los muelles cambia en el tiempo.

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial

$E=T+U={\dfrac {1}{2}}m\,v_{0}^{2}+k\,(a^{2}+d^{2})$

La energía mecánica si es constante en el tiempo, pues no hay fuerzas no conservativas actuando sobre la partícula. Podríamos haber calculado el valor de la energía mecánica a partir de las condiciones iniciales

$\left.{\begin{array}{lll}{\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\jmath }}&\Longrightarrow &T(t=0)={\dfrac {mv_{0}^{2}}{2}}\\&&\\{\vec {r}}(0)=a\,{\vec {\imath }}&\Longrightarrow &\left\{{\begin{array}{l}U_{C}(t=0)={\dfrac {k}{2}}|{\vec {r}}(0)-{\vec {r}}_{C}|^{2}={\dfrac {k}{2}}\left(a+d\right)^{2}\\\\U_{D}(t=0)={\dfrac {k}{2}}|{\vec {r}}(0)-{\vec {r}}_{D}|^{2}={\dfrac {k}{2}}\left(a-d\right)^{2}\end{array}}\right.\end{array}}\right.$

Sumando obtenemos

${\begin{array}{lcl}T(t=0)+U_{C}(t=0)+U_{D}(t=0)={\dfrac {1}{2}}m\,v_{0}^{2}+k\,(a^{2}+d^{2})=E\end{array}}$