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Carga de un condensador parcialmente relleno

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesor a de un medio de permitividad \varepsilon y conductividad σ. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor b vacía.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

  1. ¿Cuánto valen \mathbf{E}, \mathbf{D} y \mathbf{J} inmediatamente después de conectar el potencial?
  2. ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
  3. ¿Cuánto valen en cualquier instante?
  4. ¿Cómo varía, durante el periodo transitorio, la energía almacenada en el sistema? ¿Cuánta energía se disipa durante este periodo? ¿De dónde procede esta energía?
  5. Si en lugar de una tensión escalón se aplica durante un largo periodo de tiempo un voltaje alterno V = V0cos(ωt)
    1. ¿Cuánto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cuál es la impedancia del sistema? ¿Y el circuito equivalente?
    2. ¿Cuanto vale la energía aportada por el generador en un periodo? ¿En qué se emplea esta energía?

2 Introducción

Por la simetría del sistema, si despreciamos los efectos de borde, podemos admitir que los campos son uniformes en cada región aunque podrán, en principio, depender del tiempo.

Desde el instante t = 0 + la diferencia de potencial entre las placas está fijada en V0, por lo que siempre se verificará

\int_0^{a+b}\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=aE_1+bE_2=V(0)-V(a+b)=V_0

Por otro lado, en la interfaz podrá haber una carga acumulada, lo que hace que el vector desplazamiento sea discontinuo

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]=\sigma_s\quad\Rightarrow\quad \varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s

Esta carga aparece debido a la presencia de conductividad en el medio, que posibilita que fluya carga por su interior. Esta carga acumulada es también una incógnita del problema. No conocemos cuanto vale, pero sí como varía, ya que la acumulación de carga verifica

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}\quad\Rightarrow\quad
\sigma E_1=\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}

El sistema de ecuaciones resultante

aE_1+bE_2=V_0\,\qquad\varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s\,\qquad\sigma E_1=\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}


posee solución en general, que se verá más adelante. Primero, consideraremos dos casos límite.


3 Campos inmediatamente después de la conexión

En el instante t = 0 + , ya se han establecido los campos iniciales, pero aún no hay tiempo para la acumulación de carga en el interior del sistema. En este instante $\sigma_s=0$ y el sistema se reduce a

aE_1+bE_2=V_0\qquad \varepsilon_0E_2=\varepsilon E_1\,

La solución de este sistema es

E_1=\frac{\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0 a}
\qquad
E_2=\frac{\varepsilon V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0 a}

Esta distribución de campos es la misma que habría si los medios fueran dieléctricos perfectos.

El vector desplazamiento es, en las dos regiones,

\mathbf{D}_1=\mathbf{D}_2=\frac{\varepsilon \varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0 a}\mathbf{u}_z

Las únicas cargas son las acumuladas en las placas. En la placa superior tenemos

Q_2=\oint
\mathbf{D}_2{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=-\frac{\varepsilon \varepsilon_0V_0S}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}

En la inferior la carga es la misma, salvo el signo

Q_1=\oint
\mathbf{D}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0V_0S}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}

En la interfaz no hay carga acumulada todavía.

Q_s=\oint\mathbf{D}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=D_2 S-D_1S=0

Aunque todavía no haya carga acumulada, ya está fluyendo corriente de una placa a través del material. La corriente en cada región es

\mathbf{J}_1=\sigma \mathbf{E}_1=\frac{\sigma_1\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}\mathbf{u}_z\qquad\mathbf{J}_2=\sigma_2 \mathbf{E}_2= \mathbf{0}\,

Al ser diferentes estas corrientes, la carga en la interfaz varía a un ritmo

\left.\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}\right|_{t=0^+}=-\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=J_1-J_2
=\frac{\sigma \varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}

4 Campos en el estado estacionario

A medida que la carga se acumula en la interfaz, va produciendo un campo que se opone a la llegada de más carga. Finalmente se alcanza un estado estacionario en que la carga permanece constante. Para tiempos largos se cumple

aE_1+bE_2=V_0\qquad
\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}=0\quad\Rightarrow\quad \sigma E_1=\overbrace{\sigma_2}^{=0}E_2=0

Puesto que en ningún momento hay corriente de conducción en la capa vacía, el estado estacionario se alcanza cuando también se anula corriente en el medio material. Como consecuencia de la ley de Ohm, también se anulará el campo en el medio

\mathbf{E}_1=\mathbf{0}\,

aunque no en la capa vacía

\mathbf{E}_2 = \frac{V_0}{b}\mathbf{u}_z

Vemos que en el estado estacionario, el sistema se ha reducido a un condensador de espesor b, sometido a una diferencia de potencial V0

El desplazamiento eléctrico en cada medio es

\mathbf{D}_1=\varepsilon \mathbf{E}_1=\mathbf{0} \qquad
\mathbf{D}_2=\varepsilon_0E_2=\frac{\varepsilon_0V_0}{b}\mathbf{u}_z

La carga acumulada en la placa superior es

Q_2=\oint \mathbf{D}_2{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}= -\frac{\varepsilon_0V_0S}{b}

mientras que en la inferior es

Q_1=\oint \mathbf{D}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=0

La discontinuidad en \mathbf{D} nos permite calcular la carga almacenada en la interfaz

Q_s=\oint\mathbf{D}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]S=
\frac{\varepsilon_0 SV}{b}

Vemos que lo que ocurre es que la carga se va desde la placa inferior hasta la interfaz, que es realmente la superficie exterior del conductor.

La densidad de corriente es ahora nula a través de todo el sistema y vale

\mathbf{J}_1=\mathbf{J}_2=\mathbf{0}

5 Evolución en el periodo transitorio

Debemos resolver las ecuaciones completas

aE_1+bE_2=V_0
\qquad \varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s\qquad
\sigma_1E_1=\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}

De las dos primeras ecuaciones se deduce que

E_2=\frac{V_0}{b}-\frac{a}{b}E_1 \qquad\sigma_s = \frac{\varepsilon_0V_0}{b}-\frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{b}E_1

Sustituyendo en la tercera

\frac{\partial\ }{\partial t}\left(\frac{\varepsilon_0V_0}{b}-\frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{b}E_1\right) = -\frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{b}\frac{\partial E_1}{\partial t}= \sigma E_1

La solución de esta ecuación diferencial es una exponencial decreciente

E_1= E_{10} \mathrm{e}^{-t/\tau} \qquad \tau = \frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{\sigma b}

Nótese que el tiempo de decaimiento τ no es igual a \varepsilon/\sigma, como podría pensarse ingenuamente.

El valor de la amplitud E10 lo obtenemos de que conocemos el valor del campo justo después de la conexión

E_{10} = \frac{\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b + \varepsilon_0a} \qquad
\mathbf{E} = \frac{\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b + \varepsilon_0a} \mathrm{e}^{-t/\tau}\mathbf{u}_z

Conocido el campo en el medio material, obtenemos el valor del campo en la capa vacía. Se compone de una parte estacionaria y de una parte transitoria que decae exponencialmente:

\mathbf{E}_2 = \left(\frac{V_0}{b} - \frac{a\varepsilon_0V_0}{b(\varepsilon b + \varepsilon_0a)} \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)\mathbf{u}_z

Agrupando los términos, podemos escribir este campo como

\mathbf{E}_2 = \mathbf{E}_{20} \mathrm{e}^{-t/\tau} + \mathbf{E}_{2\infty} \left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)

esto es, el campo inicial decae exponencialmente, siendo sustituido por su valor final, que tiende exponencialmente a su valor estacionario.

Un análisis similar puede hacerse con la carga superficial, aunque en este caso su valor inicial es nulo:

\sigma_s = (\varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1) = \frac{\varepsilon_0 V_0}{b}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)

6 Potencia y energía durante el periodo transitorio

6.1 Energía almacenada

Podemos calcular la energía almacenada en el condensador partir de la densidad de energía

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\int \mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{2}\int \varepsilon E^2\,\mathrm{d}\tau

Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es uniforme en cada región, esta integral equivale a la suma de dos términos

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\varepsilon E_1^2 a S + \frac{1}{2}\varepsilon_0 E_2^2 b S

Sustituyendo las expresiones de los campos obtenemos el valor de la energía.

  • Justo después de la conexión (t = 0 + )
U_\mathrm{e}(0^+) = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S V_0^2}{2(\varepsilon b + \varepsilon_0a)}
  • Una vez que se alcanza el estado estacionario (t\to \infty)
U_\mathrm{e}(\infty) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}
  • Durante el periodo transitorio, la energía evoluciona del primer valor al segundo
U_\mathrm{e}(t) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}\left(1-\frac{a\varepsilon_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}\left(2-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)}{\varepsilon b + \varepsilon_0a}\right)

Durante el transitorio, la energía almacenada aumenta

\Delta U_\mathrm{e} = U_\mathrm{e}(\infty)-U_\mathrm{e}(0^+) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}\,\frac{\varepsilon_0a}{\varepsilon b + \varepsilon_0a}

6.2 Potencia y energía disipada

Durante el periodo transitorio se disipa energía en el medio óhmico, de acuerdo con la ley de Joule

P = \int \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau

Teniendo en cuenta que en esta región el campo es uniforme, esta integral da

P = \sigma a S E_1^2 = \frac{\sigma a S \varepsilon_0^2 V_0^2 \mathrm{e}^{-2t/\tau}}{(\varepsilon b + \varepsilon_0 a)^2}

La energía total disipada en el medio óhmico será la integral de esta potencia

W_d = \int_0^\infty P\,\mathrm{d}t = \frac{\sigma a S \varepsilon_0^2 V_0^2}{(\varepsilon b + \varepsilon_0 a)^2}\,\frac{\tau}{2}=\frac{a\varepsilon_0^2 SV_0^2}{2b(\varepsilon b + \varepsilon_0 a)}

6.3 Balance energético

Comparando las expresiones de la energía total disipada en el medio óhmico con la variación de la energía almacenada, vemos que tienen el mismo valor, por lo que podríamos suponer que el calor producido por efecto Joule proviene de la energía almacenada. Sin embargo, no es así, ya que la energía almacenada aumenta.

Por tanto, si se disipa energía en forma de calor, y al mismo tiempo la energía almacenada aumenta, ¿de donde proviene esta energía extra? Del único agente externo al sistema: el generador que mantiene fijo el voltaje de las placas.

La potencia desarrollada por el generador es igual a

Pg = IV

y el trabajo realizado durante el periodo transitorio es, teniendo cuenta que mantiene una tensión continua,

W_g = \int_0^\infty IV\,\mathrm{d}t = V_0\int_0^\infty I\,\mathrm{d}t= V_0\left(Q(\infty)-Q(0^+)\right)

sustituyendo los valores de la carga inicial (almacenada en la placa metálica) y de la carga final (que se ha desplazado a la interfaz) nos queda

W_g =  V_0\left(\frac{\varepsilon_0SV_0}{b}-\frac{\varepsilon\varepsilon_0SV_0}{\varepsilon b + \varepsilon_0 a}\right) = 
\frac{\varepsilon_0^2 a S V_0^2}{b(\varepsilon b + \varepsilon_0a)}

cumpliéndose el balance energético

W_g =\Delta U_\mathrm{e}+W_d\,

Aparte, el generador es responsable del almacenamiento de energía casi instantáneo que se produce cuando se cierra el circuito y se carga el sistema con su carga inicial.

7 Solución mediante un circuito equivalente

Todo el análisis de este problema se puede efectuar de forma alternativa empleando un circuito equivalente. Eso sí, el circuito correspondiente no es simplemente un condensador y una resistencia en paralelo.

7.1 Construcción del circuito

Para construir este circuito observamos que, cuando despreciamos los efectos de borde, la interfaz entre el material óhmico es siempre equipotencial, aunque su voltaje será en general una función del tiempo. Por tanto, el sistema se comportaría exactamente igual si en dicha superficie situáramos una superficie metálica.

Ahora bien, una superficie conductora en la interfaz separa el sistema en dos partes. Por un lado tenemos un medio óhmico homogéneo que llena el espacio entre dos planos conductores; por otro tenemos una capa de vacío entre dos planos conductores. Conocemos el circuito equivalente para cada uno de estos subsistemas:

  • Para el medio óhmico, el sistema equivale a un condensador y a una resistencia puestos en paralelo, de valores
C_1 = \frac{\varepsilon S}{a}\qquad R = \frac{a}{\sigma S}
  • Para la capa de vacío, la conductancia es nula (o la resistencia es infinita) y el sistema equivale solo a un condensador
C_2=\frac{\varepsilon_0S}{b}

El circuito equivalente estará entonces formado por una asociación en serie de dos partes: una asociación en paralelo de un condensador y una resistencia, y un condensador separado. Además habrá que considerar la fuente que alimenta al sistema.

7.2 Evolución temporal del sistema

Lo que ocurre en el periodo transitorio, desde el punto de vista circuital es que:

  • Inicialmente se cargan los dos condensadores, con una tensión total V0. La caída de tensión en cada condensador es
\Delta V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{C_\mathrm{eq}V_0}{C_1} = \frac{C_2V_0}{C_1+C_2}\qquad \Delta V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{C_\mathrm{eq}V_0}{C_2} = \frac{C_1V_0}{C_1+C_2}
ya que la capacidad equivalente de la asociación es
C_\mathrm{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+ C_2}
A partir de estos voltajes podemos determinar los campos eléctricos en cada región, ya que son uniformes, y a partir de estos, los vectores desplazamiento y la densidad de corriente.
  • Pasado un tiempo largo, el condensador C1 se descarga a través de la resistencia y toda la caída de tensión se produce en el segundo condensador.
\Delta V_1 = 0\,\qquad \Delta V_2 = V_0
  • Durante el periodo transitorio tenemos el sistema de ecuaciones, obtenido aplicando las leyes de Kirchhoff
\Delta V_1 = I_1R= \frac{Q_1}{C_1}\qquad\Delta V_2 = \frac{Q_2}{C_2}\qquad \Delta V_1+\Delta V_2 = V_0\qquad I_1+\frac{\mathrm{d}Q_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}Q_1}{\mathrm{d}t}

Sustituyendo. llegamos a la ecuación diferencial

\frac{\mathrm{d}(\Delta V_1)}{\mathrm{d}t} = -\frac{\Delta V_1}{R(C_1+C_2)}

con solución

\Delta V_1 = \Delta V_{10}\mathrm{e}^{-t/\tau} = \frac{C_2V_0\mathrm{e}^{-t/\tau}}{C_1+C_2}

donde el tiempo de relajación es

\tau = R\left(C_1+C_2\right) = \frac{a}{\sigma S}\left(\frac{\varepsilon S}{a}+\frac{\varepsilon_0 S}{b}\right) = \frac{\varepsilon b + \varepsilon_0 a}{\sigma b}

que es el mismo que habíamos obtenido antes a partir de los campos.

7.3 Potencia y energía

El balance energético del problema se puede expresar en términos circuitales de la siguiente forma:

  • Inicialmente el generador carga los condensadores con una energía
U_\mathrm{e}(0^+)=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq}V_0^2 = \frac{C_1C_2V_0^2}{2(C_1+C_2)}
  • Cuando se alcanza el estado estacionario sólo el segundo condensador está cargado
U_\mathrm{e}(\infty) = \frac{1}{2}C_2V_0^2
  • El incremento de energía en el proceso es
\Delta U_\mathrm{e} = U_\mathrm{e}(\infty) - U_\mathrm{e}(0^+) = \frac{C_2^2V_0^2}{2(C_1+C_2)}
  • La energía disipada en el transitorio es
W_d = \int_0^\infty \frac{(\Delta V_1)^2}{R}\,\mathrm{d}t = \frac{(C_1+C_2)(\Delta V_{10})^2}{2}= \frac{C_2^2V_0^2}{2(C_1+C_2)}
  • La energía aportada por el generador en el transitorio es
W_g = \int_0^\infty I V_0\,\mathrm{d}t = V_0\left(Q(\infty)-Q(0^+)\right)=\left(C_2-C_\mathrm{eq}\right)V_0^2=\frac{C_2^2V_0^2}{C_1+C_2}

verificándose el balance energético de la misma forma que antes.

8 Comportamiento en corriente alterna

Si suponemos que en lugar de una señal escalón lo que tenemos es una fuente de tensión alterna V0cos(ωt) conectada permanentemente, la corriente que llega al elemento, los campos en su interior y las cargas en las superficies van a oscilar también sinusoidalmente, lo que nos permite el uso de fasores.

8.1 Corriente, impedancia y circuito equivalente

Suponemos que la frecuencia de la señal aplicada es baja, de forma que la distribución de los campos es la misma que en el caso estático. En ese caso tenemos que el campo en cada región es uniforme, aunque oscilará sinusoidalmente con el tiempo:

\mathbf{E}_1(t) = \mathrm{Re}\left(\hat{\mathbf{E}}_1(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\qquad \mathbf{E}_2(t) = \mathrm{Re}\left(\hat{\mathbf{E}}_2(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\qquad\sigma_s(t) = \mathrm{Re}\left(\hat{\sigma}_s(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

Llevando esto a las ecuaciones del sistema, obtenemos las ecuaciones algebraicas

a \hat{E}_1+b\hat{E}_2 = V_0 \qquad
\varepsilon_0 \hat{E}_2-\varepsilon \hat{E}_1 = \hat{\sigma}_s\qquad 
\sigma \hat{E}_1 = \mathrm{j}\omega\hat{\sigma}_s

con solución

\hat{E}_1 = \frac{\mathrm{j}\omega \varepsilon_0 V_0}{(\sigma+\mathrm{j}\omega \varepsilon)b+\mathrm{j}\omega \varepsilon_0 a}\qquad \hat{E}_2 = \frac{(\sigma + \mathrm{j}\omega \varepsilon) V_0}{(\sigma+\mathrm{j}\omega \varepsilon)b+\mathrm{j}\omega \varepsilon_0 a}\qquad \hat{\sigma}_s = \frac{\sigma \varepsilon_0 V_0}{(\sigma+\mathrm{j}\omega \varepsilon)b+\mathrm{j}\omega \varepsilon_0 a}

Podemos ver que esta solución es razonablemente correcta considerando dos casos límite:

  • Cuando \omega\to 0 el sistema se reduce a uno de corriente continua. En este límite
\hat{E}_1 \to 0\qquad \hat{E}_2 = \frac{V_0}{b}\qquad \hat{\sigma}_s = \frac{\varepsilon_0 V_0}{b}
que es la solución estacionaria que ya conocemos.
  • Cuando \omega\to \infty, en cambio, el sistema oscila tan rápidamente que a la interfaz no le da tiempo a cargarse, y la solución se reduce a
\hat{E}_1 \to \frac{\varepsilon_0 V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0 a}\qquad \hat{E}_2 \to \frac{\varepsilon V_0}{\varepsilon b+ \varepsilon_0 a}\qquad \hat{\sigma}_s \to 0
que es la solución para el instante inicial tras la conexión.

Una vez que tenemos los campos en cada región podemos calcular la corriente que llega al elelemnto, a partir de la ley de conservación de lacarga para una superficie que envuelve a la primera placa. En forma fasorial esta ley se escribe

\hat{I} = \int \hat{\mathbf{J}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} + \mathrm{j}\omega \hat{Q}_1 = \int \left(\hat{\mathbf{J}}+\mathrm{j}\omega\hat{\mathbf{D}}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = (\sigma+\mathrm{j}\omega\varepsilon)\hat{E}_1S =
\frac{(\sigma +\mathrm{j}\omega\varepsilon)\varepsilon_0SV_0}{(\sigma+\mathrm{j}\omega \varepsilon)b+\mathrm{j}\omega \varepsilon_0 a}

De esta relación obtenemos la impedancia del elemento

Z=\frac{\hat{V}}{\hat{I}}=\frac{(\sigma+\mathrm{j}\omega \varepsilon)b+\mathrm{j}\omega \varepsilon_0 a}{(\sigma +\mathrm{j}\omega\varepsilon)\varepsilon_0 S}

Si sustituimos los valores de las capacidades y la resistencia calculadas anteriormente, esta impedanzia se escribe como

Z=\frac{1+\mathrm{j}\omega R(C_1+C_2)}{\mathrm{j}\omega C_2(1+\mathrm{j}\omega C_1R)} = 
\frac{1}{\mathrm{j}\omega C_1+1/R} + \frac{1}{\mathrm{j}\omega C_2}

que se corresponde con el circuito que hemos descrito antes.

No obstante, puede observarse que esta misma impedancia se puede expresar como

1/Z = \mathrm{j}\omega C'_1 + \frac{1}{1/\mathrm{j}\omega C_2' + R'}

donde

C'_1 = \frac{C_1C_2}{C_1+C_2}= \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{\varepsilon b + \varepsilon_0 a}\qquad C'_2 = \frac{C_2^2}{C_1+C_2}=\frac{a\varepsilon_0^2 S}{b(\varepsilon b + \varepsilon_0 a)}\qquad R'=\frac{(C_1+C_2)^2R}{C_2^2} = \frac{(\varepsilon b + \varepsilon_0 a)^2}{a\sigma \varepsilon_0^2 S}

En este circuito alternativo tenemos un condensador en paralelo con una asociación en serie de una resistencia y otro condensador. Podemos emplear este circuito alternativo para resolver el problema, aunque la interpretación de cada término será diferente.

8.2 Energía en corriente alterna

La existencia de corrientes en el medio óhmico provoca disipación de energía por efecto Joule. La energía disipada proviene, en promedio, del generador pues la energía almacenada oscila periódicamente. No obstante, es posible que, en diferentes instantes del periodo, el generador proporcione más energía de la que se disipa (aumentando la energía almacenada), que proporcione menos (con lo que la energía disipada se extrae de la almacenada), o incluso que el generador absorba energía, si bien la energía absorbida siempre será menos que la inyectada.

La potencia instantánea disipada en la resistencia es

P(t) = \int \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau = \sigma E_1^2 a S

Integrando esta cantidad sobre un periodo obtenemos la energía disipada, que se puede calcular en términos de los fasores

W_d= \int_0^T P\mathrm{d}t = \frac{\pi \sigma a S\left|\hat{E}_1\right|^2}{\omega}
= \frac{\pi\sigma a S\omega\varepsilon_0^2 V_0^2}{(\sigma b)^2+\omega^2(\varepsilon b+\varepsilon_0 a)^2}

Esta energía disipada posee un valor máximo para la frecuencia \omega = \sigma b/(\varepsilon_b + \varepsilon_0 a) = 1/\tau. Para frecuencias inferiores las corrientes son muy débiles, y para frecuencias superiores el periodo es muy corto, resultando en ambos casos una disipación menor en un periodo.

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