Enunciado

La barra homogénea (sólido "0") tiene masa y longitud . Está articulada en el punto fijo y rota de modo que está siempre contenida en el plano . En su extremo está articulado un aro homogéneo de radio y masa (sólido "2"). El sistema está sometido a la acción de la gravedad. Se recomienda utilizar los ángulos como coordenadas para resolver el problema.

  1. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {21}, {20}.
  2. Calcula las energías cinética y potencial totales del sistema.
  3. Usando las herramientas de la Dinámica Analítica, encuentra las ecuaciones de movimiento.
  4. Se impone el vínculo cinemático . Determina el par necesario para imponer dicho vínculo. Supón que en el instante inicial se tiene , .
  5. Supongamos que las coordenadas son de nuevo libres. Supón que se tiene , . En ese instante una percusión actúa sobre el punto . Determina el estado cinemático del sistema justo después de la percusión.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Este movimiento es un movimiento plano y el eje forma un ángulo con el eje . Por tanto el vector rotación es

El signo es positivo, pues cuando crece, , y el vector apunta en el sentido positivo del eje , como corresponde.

El punto es un punto fijo común de la barra y los ejes "1", por tanto

Movimiento {21}

También es un movimiento plano, y el eje forma un ángulo con el eje , por tanto

El signo es positivo por la misma razón que en el movimiento {21}.

El punto es un punto común en todo instante de la barra y el aro. Por tanto

Aplicando composición de movimientos tenemos

Usando el teorema de Chasles para el movimiento {01} tenemos

El vector geométrico es

Por tanto

Este resultado también puede obtenerse derivando respecto al tiempo el vector .

Movimiento {20}

Ya tenemos la velocidad del punto

Obtenemos el vector rotación usando composición de movimientos

Energías cinética y potencial

Energía cinética

La energía cinética tiene una contribución de la barra y otra del aro:

El punto es un punto fijo y el movimiento es plano. Entonces la rotación se produce alrededor de un eje principal de inercia. Por tanto

Aquí, es el momento de inercia de la barra respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo

Para el aro lo más sencillo es usar el centro de masas

El primer término es la energía cinética de traslación del centro de masas y el segundo la energía cinética de rotación alrededor del centro de masas.

Usamos la reducción cinemática del movimiento {21}. De la figura vemos que

El teorema de Chasles nos dice que

Haciendo los cálculos llegamos a

La energía de traslación del centro de masas del aro es

Para simplificar un poco la expresión hemos usado que

La componente de rotación alrededor del centro de masas es

Aquí, es el momento de inercia del aro respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro

La energía cinética total del aro es

La energía cinética total es

Sustituyendo los valores de los momentos de inercia tenemos

Energía potencial

La energía potencial es únicamente gravitatoria. Tiene dos componentes, una de la barra y otra del aro. Escogiendo como origen de energía potencial el eje tenemos para el aro

Para el aro tenemos

La energía potencial total es

Ecuaciones de movimiento

El sistema es conservativo e independiente, es decir tiene dos grados de libertad y tenemos dos coordenadas generalizadas independientes. Entonces las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Euler para cada coordenada:

La función lagrangiana es

Ecuación para

Tenemos

La ecuación de es

Ecuación para

Tenemos

La ecuación de es

Vínculo cinemático

Utilizamos un multiplicador de Lagrange para imponer el vínculo cinemático. Con el multiplicador las ecuaciones de Lagrange se convierten en

Del vínculo vemos que

Las ecuaciones de Lagrange se convierten en, utilizando ahora la ecuación del vínculo

La segunda ecuación es la ecuación de movimiento para , el único grado de libertad del problema en este caso. La primera da el valor de multiplicador de Lagrange. Este multiplicador es la componente en del par necesario para imponer el vínculo sobre . Podemos ver esto comparando el término de fuerza generalizada obtenido del multiplicador de Lagrange en la ecuación para con el que saldría si imponemos un par usando el Prinicipio de Liberación

De aquí obtenemos

Percusión

Consideramos de nuevo el caso en que son libres. En la configuración dada por y se aplica un percusión en

Las ecuaciones de Lagrange impulsivas son

Tenemos, para

y

Hemos usado que en el momento de la percusión se tiene y . Para la percusión generalizada tenemos

Entonces

Para tenemos

y

Hemos usado que en el momento de la percusión se tiene y . Para la percusión generalizada tenemos

Entonces