Tercera Convocatoria Ordinaria 2016/17 (MR G.I.C.)

Disco deslizando por barra horizontal con muelle

El disco plano de la figura, (sólido "2", masa $m$, radio $R$) desliza sin rozamiento sobre una barra rígida (sólido "0") de masa despreciable, a la vez que rota alrededor de ella. A su vez esta barra, que permanece siempre en el plano $OX_{1}Y_{1}$, rota alrededor el eje $OZ_{0}$. Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $R$ conecta el punto $O$ con el centro del disco. En el instante inicial se tiene $s(0)=2R$, ${\dot {s}}(0)=0$, $\phi (0)=0$, ${\dot {\phi }}(0)=\omega _{0}$, ${\dot {\theta }}(0)=0$.

1. Determina la reducción cinemática del centro de masas del sólido "2" (punto $G$) en su movimiento absoluto, así como su derivada temporal.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética del disco, así como su momento cinético respecto a $O$.
3. Haz la desvinculación global del disco en su centro de masas. Indica cuantas incógnitas hay en el problema y que ecuaciones usarías para resolverlo (no hace falta escribir las ecuaciones)
4. Encuentra y escribe dos integrales primeras del movimiento.

Disco rodando en cavidad con muelle de torsión

Un disco de radio $R$ y masa $m$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio $3R$. En el centro del disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud $2R$. El otro extremo de la barra se articula en un punto fijo $O$. La barra está conectada a su vez a un resorte de torsión en el punto $O$. Este resorte ejerce un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él se puede expresar como $U_{k}=k\phi ^{2}$, siendo $k$ una constante.

1. Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre ${\dot {\phi }}$ y ${\dot {\psi }}$?.
2. Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
3. Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo $\phi$ es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
4. Estando el disco en reposo y con $\phi =0$, se aplica al centro del disco una percusión ${\hat {\vec {F}}}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$. Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje. $OY_{1}$.