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Carga de un condensador parcialmente relleno

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Energía almacenada)
(Energía almacenada)
Línea 189: Línea 189:
* Durante el periodo transitorio, la energía evoluciona del primer valor al segundo
* Durante el periodo transitorio, la energía evoluciona del primer valor al segundo
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<center><math>U_\mathrm{e}(t) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}\left(1-\frac{2a\varepsilon_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}}{\varepsilon b + \varepsilon_0a} + \frac{a\varepsilon_0 \mathrm{e}^{-2t/\tau}}{\varepsilon b + \varepsilon_0a}\right)</math></center>
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<center><math>U_\mathrm{e}(t) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}\left(1-\frac{a\varepsilon_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}\left(2-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)}{\varepsilon b + \varepsilon_0a}\right)</math></center>
Durante el transitorio, la energía almacenada aumenta
Durante el transitorio, la energía almacenada aumenta

Revisión de 16:12 7 jun 2008

Contenido

1 Enunciado

Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesor a de un medio de permitividad \varepsilon y conductividad σ. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor b vacía.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

  1. ¿Cuánto valen \mathbf{E}, \mathbf{D} y \mathbf{J} inmediatamente después de conectar el potencial?
  2. ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
  3. ¿Cuánto valen en cualquier instante?
  4. ¿Cómo varía, durante el periodo transitorio, la energía almacenada en el sistema? ¿Cuánta energía se disipa durante este periodo? ¿De dónde procede esta energía?
  5. Si en lugar de una tensión escalón se aplica durante un largo periodo de tiempo un voltaje alterno V = V0cos(ωt)
    1. ¿Cuánto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cuál es la impedancia del sistema? ¿Y el circuito equivalente?
    2. ¿Cuanto vale la energía aportada por el generador en un periodo? ¿En qué se emplea esta energía?

2 Solución

Por la simetría del sistema, si despreciamos los efectos de borde, podemos admitir que los campos son uniformes en cada región aunque podrán, en principio, depender del tiempo.

Desde el instante t = 0 + la diferencia de potencial entre las placas está fijada en $V_0$, por lo que siempre se verificará

\int_0^{a+b}\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=aE_1+bE_2=V(0)-V(a+b)=V_0

Por otro lado, en la interfaz podrá haber una carga acumulada, lo que hace que el vector desplazamiento sea discontinuo

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]=\sigma_s\quad\Rightarrow\quad \varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s

Esta carga aparece debido a la presencia de conductividad en el medio, que posibilita que fluya carga por su interior. Esta carga acumulada es también una incógnita del problema. No conocemos cuanto vale, pero sí como varía, ya que la acumulación de carga verifica

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}\quad\Rightarrow\quad
\sigma E_1=\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}

El sistema de ecuaciones resultante

aE_1+bE_2=V_0\,


\varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s\,


\sigma E_1=\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}


posee solución en general, que se verá más adelante. Primero, consideraremos dos casos límite.


2.1 Campos inmediatamente después de la conexión

En el instante t = 0 + , ya se han establecido los campos iniciales, pero aún no hay tiempo para la acumulación de carga en el interior del sistema. En este instante $\sigma_s=0$ y el sistema se reduce a

aE_1+bE_2=V_0\qquad \varepsilon_0E_2=\varepsilon E_1\,

La solución de este sistema es

E_1=\frac{\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0 a}
\qquad
E_2=\frac{\varepsilon V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0 a}

Esta distribución de campos es la misma que habría si los medios fueran dieléctricos perfectos.

El vector desplazamiento es, en las dos regiones,

\mathbf{D}_1=\mathbf{D}_2=\frac{\varepsilon \varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0 a}\mathbf{u}_z

Las únicas cargas son las acumuladas en las placas. En la placa superior tenemos

Q_2=\oint
\mathbf{D}_2{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=-\frac{\varepsilon \varepsilon_0V_0S}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}

En la inferior la carga es la misma, salvo el signo

Q_1=\oint
\mathbf{D}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0V_0S}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}

En la interfaz no hay carga acumulada todavía.

Q_s=\oint\mathbf{D}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=D_2 S-D_1S=0

Aunque todavía no haya carga acumulada, ya está fluyendo corriente de una placa a través del material. La corriente en cada región es

\mathbf{J}_1=\sigma \mathbf{E}_1=\frac{\sigma_1\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}\mathbf{u}_z\qquad\mathbf{J}_2=\sigma_2 \mathbf{E}_2= \mathbf{0}\,

Al ser diferentes estas corrientes, la carga en la interfaz varía a un ritmo

\left.\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}\right|_{t=0^+}=-\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=J_1-J_2
=\frac{\sigma \varepsilon_0V_0}{\varepsilon b+\varepsilon_0a}

2.2 Campos en el estado estacionario

A medida que la carga se acumula en la interfaz, va produciendo un campo que se opone a la llegada de más carga. Finalmente se alcanza un estado estacionario en que la carga permanece constante. Para tiempos largos se cumple

aE_1+bE_2=V_0\qquad
\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}=0\quad\Rightarrow\quad \sigma E_1=\overbrace{\sigma_2}^{=0}E_2=0

Puesto que en ningún momento hay corriente de conducción en la capa vacía, el estado estacionario se alcanza cuando también se anula corriente en el medio material. Como consecuencia de la ley de Ohm, también se anulará el campo en el medio

\mathbf{E}_1=\mathbf{0}\,

aunque no en la capa vacía

\mathbf{E}_2 = \frac{V_0}{b}\mathbf{u}_z

Vemos que en el estado estacionario, el sistema se ha reducido a un condensador de espesor b, sometido a una diferencia de potencial V0

El desplazamiento eléctrico en cada medio es

\mathbf{D}_1=\varepsilon \mathbf{E}_1=\mathbf{0} \qquad
\mathbf{D}_2=\varepsilon_0E_2=\frac{\varepsilon_0V_0}{b}\mathbf{u}_z

La carga acumulada en la placa superior es

Q_2=\oint \mathbf{D}_2{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}= -\frac{\varepsilon_0V_0S}{b}

mientras que en la inferior es

Q_1=\oint \mathbf{D}_1{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=0

La discontinuidad en \mathbf{D} nos permite calcular la carga almacenada en la interfaz

Q_s=\oint\mathbf{D}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]S=
\frac{\varepsilon_0 SV}{b}

Vemos que lo que ocurre es que la carga se va desde la placa inferior hasta la interfaz, que es realmente la superficie exterior del conductor.

La densidad de corriente es ahora nula a través de todo el sistema y vale

\mathbf{J}_1=\mathbf{J}_2=\mathbf{0}

2.3 Evolución en el periodo transitorio

Debemos resolver las ecuaciones completas

aE_1+bE_2=V_0
\qquad \varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s\qquad
\sigma_1E_1=\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}

De las dos primeras ecuaciones se deduce que

E_2=\frac{V_0}{b}-\frac{a}{b}E_1 \qquad\sigma_s = \frac{\varepsilon_0V_0}{b}-\frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{b}E_1

Sustituyendo en la tercera

\frac{\partial\ }{\partial t}\left(\frac{\varepsilon_0V_0}{b}-\frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{b}E_1\right) = -\frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{b}\frac{\partial E_1}{\partial t}= \sigma E_1

La solución de esta ecuación diferencial es una exponencial decreciente

E_1= E_{10} \mathrm{e}^{-t/\tau} \qquad \tau = \frac{\varepsilon b + \varepsilon_0a}{\sigma b}

Nótese que el tiempo de decaimiento τ no es igual a \varepsilon/\sigma, como podría pensarse ingenuamente.

El valor de la amplitud E10 lo obtenemos de que conocemos el valor del campo justo después de la conexión

E_{10} = \frac{\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b + \varepsilon_0a} \qquad
\mathbf{E} = \frac{\varepsilon_0V_0}{\varepsilon b + \varepsilon_0a} \mathrm{e}^{-t/\tau}\mathbf{u}_z

Conocido el campo en el medio material, obtenemos el valor del campo en la capa vacía. Se compone de una parte estacionaria y de una parte transitoria que decae exponencialmente:

\mathbf{E}_2 = \left(\frac{V_0}{b} - \frac{a\varepsilon_0V_0}{b(\varepsilon b + \varepsilon_0a)} \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)\mathbf{u}_z

Agrupando los términos, podemos escribir este campo como

\mathbf{E}_2 = \mathbf{E}_{20} \mathrm{e}^{-t/\tau} + \mathbf{E}_{2\infty} \left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)

esto es, el campo inicial decae exponencialmente, siendo sustituido por su valor final, que tiende exponencialmente a su valor estacionario.

Un análisis similar puede hacerse con la carga superficial, aunque en este caso su valor inicial es nulo:

\sigma_s = (\varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1) = \frac{\varepsilon_0 V_0}{b}\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)

2.4 Potencia y energía durante el periodo transitorio

2.4.1 Energía almacenada

Podemos calcular la energía almacenada en el condensador partir de la densidad de energía

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\int \mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,\mathrm{d}\tau = \frac{1}{2}\int \varepsilon E^2\,\mathrm{d}\tau

Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es uniforme en cada región, esta integral equivale a la suma de dos términos

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\varepsilon E_1^2 a S + \frac{1}{2}\varepsilon_0 E_2^2 b S

Sustituyendo las expresiones de los campos obtenemos el valor de la energía.

  • Justo después de la conexión (t = 0 + )
U_\mathrm{e}(0^+) = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S V_0^2}{2(\varepsilon b + \varepsilon_0a)}
  • Una vez que se alcanza el estado estacionario (t\to \infty)
U_\mathrm{e}(\infty) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}
  • Durante el periodo transitorio, la energía evoluciona del primer valor al segundo
U_\mathrm{e}(t) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}\left(1-\frac{a\varepsilon_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}\left(2-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)}{\varepsilon b + \varepsilon_0a}\right)

Durante el transitorio, la energía almacenada aumenta

\Delta U_\mathrm{e} = U_\mathrm{e}(\infty)-U_\mathrm{e}(0^+) = \frac{\varepsilon_0 S V_0^2}{2b}\,\frac{\varepsilon_0a}{\varepsilon b + \varepsilon_0a}

2.4.2 Potencia y energía disipada

2.4.3 Balance energético

2.5 Comportamiento en corriente alterna

2.5.1 Corriente, impedancia y circuito equivalente

2.5.2 Energía en corriente alterna

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