Placa cuadrada pivotando con muelle, Septiembre 2016 (MR G.I.C.)

Enunciado

El sólido "2' es una placa cuadrada y homogénea, de lado $2d$ y masa $M$. La placa está articulada en su vértice $A$, que permanece fijo. El vértice $C$ de la placa está conectado a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula, anclado en el punto $O_{1}$. En el instante inicial la posición de la placa está indicada en la figura por el cuadrado punteado. En esa posición inicial, el lado $AB_{0}$ no está apoyado en ninguna superficie. La gravedad actúa en la dirección vertical hacia abajo. Durante el movimiento de la placa el muelle permanece siempre estirado.

1. ¿Qué valor debe tener $k$ para que la posición inicial sea una posición de equilibrio? Encuentra la reducción vincular en $A$ para la situación de equilibrio.
2. Determina la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $G$ de la placa, así como su derivada temporal.
3. Una pequeña perturbación hace que la placa empiece a girar con velocidad angular inicial ${\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}$. Encuentra la expresión de la energía cinética de la placa durante su movimiento (ver Nota).
4. Encuentra una integral primera del movimiento. Supón que el valor de $k$ corresponde a la condición de equilibrio del apartado 1.
5. Considerando el valor de $k$ del apartado anterior, discute razonadamente la estabilidad del equilibrio del apartado 1.

Nota: El momento de inercia de una placa homogénea cuadrada de masa $M$ y lado $l$, respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro es $Ml^{2}/6$.

Solución

Análisis del equilibrio

La figura de la derecha muestra las fuerzas y momentos que actúan sobre la placa. Tenemos dos fuerzas activas, el peso y la fuerza elástica del muelle. Para determinar la reducción vincular, consideramos el problema como un movimiento plano, por lo que sólo puede haber tres grados de libertad como máximo, dos de traslación y uno de rotación. La única restricción del movimiento de la placa es que el punto $A$ es fijo. Entonces la única reacción vincular es la fuerza ejercida sobre la placa en $A$, que tiene dos posibles componentes no nulas para impedir los dos posibles movimientos del punto. No hay momento de reacción vincular pues la rotación está permitida. Entonces las fuerzas y momentos sobre la placa son

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-Mg\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {F}}_{k}=-k{\overrightarrow {O_{1}C_{0}}}=-6kd\,{\vec {\imath }}_{1}-2kd\,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {A}}=A_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}+A_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Las condiciones de equilibrio mecánico son que la suma de fuerzas externas y momentos externos respecto a un punto cualquiera sea cero. La suma de fuerzas nos da

${\vec {P}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {A}}=\left\{{\begin{array}{lcl}(X_{1})&\to &A_{x}=6kd\\&&\\(Y_{1})&\to &A_{y}=2kd+Mg\end{array}}\right.$

Escogemos el punto $A$ para calcular los momentos. La fuerza de reacción vincular en $A$ no ejerce momento. Tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {AG}}\times {\vec {P}}=(d\,{\vec {\imath }}_{1}+d\,{\vec {\jmath }}_{1})\times (-Mg\,{\vec {\jmath }}_{1})=-Mgd\,{\vec {k}}_{1}\\\\{\overrightarrow {AC_{0}}}\times {\vec {F}}_{k}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}_{1}&{\vec {\jmath }}_{1}&{\vec {k}}\\2d&2d&0\\-6kd&-2kd&0\end{array}}\right|=8kd^{2}\,{\vec {k}}_{1}\end{array}}$

Imponiendo que el momento resultante sea nulo tenemos

${\vec {M}}_{A}={\overrightarrow {AG}}\times {\vec {P}}+{\overrightarrow {AC_{0}}}\times {\vec {F}}_{k}=0\Longrightarrow 8kd^{2}-Mgd=0$

Entonces el valor de $k$ para que esa posición sea de equilibrio es

$k_{eq}={\dfrac {Mg}{8d}}$

Reducción cinemática en $G$ y derivada temporal

El punto $A$ es fijo, por tanto

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$

Al ser un movimiento plano, el vector rotación es perpendicular al plano del movimiento. Entonces

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

Para obtener la reducción cinemática en $G$ usamos el teorema de Chasles

${\vec {v}}_{21}^{G}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}$

El vector ${\overrightarrow {AG}}$ forma un ángulo $\theta$ con el eje $O_{1}X_{1}$. Por tanto, su expresión en la base "1" es

${\overrightarrow {AG}}={\sqrt {2}}d(\cos {\theta }\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})$

Aplicando el Teorema de Chasles obtenemos la reducción cinemática en el punto $G$

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1},\qquad {\vec {v}}_{21}^{G}={\sqrt {2}}d\,{\dot {\theta }}\,(-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1})$

Para obtener la derivada temporal derivamos respecto al tiempo desde el sólido "1". Los vectores ${\vec {\imath }}_{1},{\vec {\jmath }}_{1}$ son entonces constantes, por lo que tenemos

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}$

y

${\vec {a}}_{21}^{G}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\sqrt {2}}d\,(-{\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta -{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+{\sqrt {2}}d\,({\ddot {\theta }}\cos \theta -{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Otra posibilidad es expresar los vectores en la base del sólido "2" y hacer los cálculos en la esa base. Inténtalo.

Energía cinética

Como el punto $A$ es fijo, y el movimiento es plano, la energía cinética puede calcularse como

$T={\dfrac {1}{2}}I_{A}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}$

Usamos el Teorema de Steiner para calcular el momento de inercia $I_{A}$

$I_{A}=I_{G}+M|{\overrightarrow {GA}}|^{2}={\dfrac {8}{3}}Md^{2}$

La energía cinética es

$T={\dfrac {4}{3}}Md^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

También se puede calcular como la suma de energía cinética de traslación del centro de masas y de rotación alrededor de él. Intentálo.

Integral primera del movimiento

Una vez que la placa empieza a girar con la pequeña velocidad angular inicial $\omega _{0}$, la placa está sometida a la acción del peso, el muelle y la fuerza de reacción vincular en $A$. Ésta última no realiza trabajo, y como las otras dos son conservativas, la energía mecánica se conserva. Tenemos que calcular la energía potencial, que tiene dos componentes, la gravitatoria y la elástica.

Escogemos como origen de energía potencial gravitatoria el eje $O_{1}X_{1}$. Tenemos

$U_{g}=Mg{\overrightarrow {AG}}\cdot {\vec {\jmath }}_{1}={\sqrt {2}}Mgd\,\mathrm {sen} \,\theta .$

Para la energía elástica tenemos

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}k|{\overrightarrow {O_{1}C}}|^{2}$

Mirando el dibujo tenemos

${\overrightarrow {O_{1}C}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {OA}}+2{\overrightarrow {AG}}=(4d+2{\sqrt {2}}d\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+2{\sqrt {2}}d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Entonces

$U_{k}=4kd^{2}(3+2{\sqrt {2}}\cos \theta )$

Nos dice el enunciado que tomemos el valor calculado en equilibrio para $k$, por tanto

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}Mgd(3+2{\sqrt {2}}\cos \theta )$

y la energía potencial total es

$U=U_{g}+U_{k}={\dfrac {1}{2}}Mgd(3+2{\sqrt {2}}\cos \theta +2{\sqrt {2}}\,\mathrm {sen} \,\theta )$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial

$E_{m}=T+U={\dfrac {4}{3}}Md^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dfrac {1}{2}}Mgd(3+2{\sqrt {2}}\cos \theta +2{\sqrt {2}}\,\mathrm {sen} \,\theta )=cte$

La constante se determina sabiendo que $\theta (0)=\pi /4$ y ${\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}$.

$E_{m}={\dfrac {4}{3}}Md^{2}\omega _{0}^{2}+{\dfrac {7}{2}}Mgd$

Análisis de la estabilidad del equilibrio

Como tenemos la expresión de la energía potencial, podemos analizar si el equilibrio del primer apartado es estable o inestable. Derivando respecto a $\theta$ la expresión del a energía potencial (con el valor de $k$ de equilibrio)

${\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}=0\Longrightarrow {\sqrt {2}}Mgd\,(-\mathrm {sen} \,\theta +\cos \theta )=0\Longrightarrow \theta _{e}q=\pi /4$

lo que es coherente con la posición inicial.

Derivamos otra vez para ver la estabilidad

${\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}=-{\sqrt {2}}Mgd(\cos \theta +\mathrm {sen} \,\theta )$

Sustituyendo el valor de equilibrio tenemos

${\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}(\pi /4)=-{\sqrt {2}}Mgd(\cos(\pi /4)+\mathrm {sen} \,(\pi /4))=-2Mgd<0$

Como es negativa, la energía potencial es máxima para ese valor del ángulo, por lo que el equilibrio es inestable. Con la más pequeña perturbación la placa empieza a girar y no vuelve a la posición de equilibrio.