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Carga de un condensador parcialmente relleno

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Solución)
(Solución)
Línea 17: Línea 17:
Desde el instante <math>t=0^+</math> la diferencia de potencial entre las placas está fijada en $V_0$, por lo que siempre se verificará
Desde el instante <math>t=0^+</math> la diferencia de potencial entre las placas está fijada en $V_0$, por lo que siempre se verificará
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<center><math>\int_0^{a+b}\mathbf{E}{\cdot}d\bl=aE_1+bE_2=V(0)-V(a+b)=V_0</math></center>
+
<center><math>\int_0^{a+b}\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=aE_1+bE_2=V(0)-V(a+b)=V_0</math></center>
Por otro lado, en la interfaz podrá haber una carga acumulada, lo que hace que el vector desplazamiento sea discontinuo
Por otro lado, en la interfaz podrá haber una carga acumulada, lo que hace que el vector desplazamiento sea discontinuo

Revisión de 10:29 7 jun 2008

Contenido

1 Enunciado

Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesor a de un medio de permitividad \varepsilon y conductividad σ. El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor b vacía.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

  1. ¿Cuánto valen \mathbf{E}, \mathbf{D} y \mathbf{J} inmediatamente después de conectar el potencial?
  2. ¿Cuánto valen un tiempo largo después de que se haya establecido?
  3. ¿Cuánto valen en cualquier instante?
  4. ¿Cómo varía, durante el periodo transitorio, la energía almacenada en el sistema? ¿Cuánta energía se disipa durante este periodo? ¿De dónde procede esta energía?
  5. Si en lugar de una tensión escalón se aplica durante un largo periodo de tiempo un voltaje alterno V = V0cos(ωt)
    1. ¿Cuánto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cuál es la impedancia del sistema? ¿Y el circuito equivalente?
    2. ¿Cuanto vale la energía aportada por el generador en un periodo? ¿En qué se emplea esta energía?

2 Solución

Por la simetría del sistema, si despreciamos los efectos de borde, podemos admitir que los campos son uniformes en cada región aunque podrán, en principio, depender del tiempo.

Desde el instante t = 0 + la diferencia de potencial entre las placas está fijada en $V_0$, por lo que siempre se verificará

\int_0^{a+b}\mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=aE_1+bE_2=V(0)-V(a+b)=V_0

Por otro lado, en la interfaz podrá haber una carga acumulada, lo que hace que el vector desplazamiento sea discontinuo

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{D}]=\sigma_s\quad\Rightarrow\quad \varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s

Esta carga aparece debido a la presencia de conductividad en el medio, que posibilita que fluya carga por su interior. Esta carga acumulada es también una incógnita del problema. No conocemos cuanto vale, pero sí como varía, ya que la acumulación de carga verifica

\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=-\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}\quad\Rightarrow\quad
\sigma_2E_2-\sigma_1E_1=-\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}

El sistema de ecuaciones resultante

aE_1+bE_2=V_0\,
\varepsilon_0E_2-\varepsilon E_1=\sigma_s\,
\sigma_2E_2-\sigma_1E_1=-\frac{\partial \sigma_s}{\partial t}

</math></center>

posee solución en general, que se verá más adelante. Primero, consideraremos dos casos límite.


2.1 Campos inmediatamente después de la conexión

2.2 Campos en el estado estacionario

2.3 Evolución en el periodo transitorio

2.4 Potencia y energía durante el periodo transitorio

2.5 Comportamiento en corriente alterna

2.5.1 Corriente, impedancia y circuito equivalente

2.5.2 Energía en corriente alterna

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