(Página creada con «= Enunciado = right En el sistema de la figura las barras tienen longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> cada una. La barra "2" está articulada en el punto fijo <math>A</math>, mientras que el extremo <math>C</math> de la barra "0" puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie vertical. El muelle que conecta los puntos <math>A</math> y <math>C</math> tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural…»)
 
(Página creada con «= Disco rodando sobre escuadra giratoria= right Un disco (sólido "2") de masa <math>M</math> y radio <math>R</math>, rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano <math>OX_1Y_1</math> con velocidad angular constante <math>\omega_0</math>. #Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del pro…»)
 
Línea 1: Línea 1:
= Enunciado =
=[[ Sep. 2018 (M.R.) Disco rodando sobre escuadra giratoria | Disco rodando sobre escuadra giratoria]]=
[[Imagen:MRGIC_armaduramuelle_enunciado.png|right]]
[[Archivo:MR_disco_escuadra_enunicado.png|right]]
En el sistema de la figura las barras tienen longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> cada una.
Un disco (sólido "2") de masa <math>M</math> y radio <math>R</math>, rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano
La barra "2" está articulada en el punto fijo <math>A</math>, mientras que el extremo
<math>OX_1Y_1</math> con velocidad angular constante <math>\omega_0</math>.  
<math>C</math> de la barra "0" puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie vertical. El
#Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del problema en el centro del disco <math>G</math>.
muelle que conecta los puntos <math>A</math> y <math>C</math> tiene constante elástica <math>k</math> y longitud natural
#Calcula el momento cinético del disco respecto a <math>G</math> y <math>O</math>, su energía cinética y su energía potencial.
nula. El muelle se mantiene siempre vertical. La gravedad actúa como se indica en la
#Aplicando los métodos de la Mecánica Vectorial, encuentra las ecuaciones de movimiento del disco. ¿Cuál es la frecuencia propia de oscilación del sistema (también llamada frecuencia natural)?
figura.
#Encuentra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra (sólido "0") para que se mueva de la forma descrita.
#Calcula la energía potencial del sistema.
#Suponiendo que el muelle se ajusta de modo que <math>mg=kd</math>, determina los valores de <math>\theta</math> para los que hay equilibrio mecánico. Discute la estabilidad de estas posiciones de equilibrio.
#Si se aplica una fuerza <math>\vec{F} = F_0\,\vec{\imath}_1</math> sobre el punto <math>B</math>, con <math>F_0=2kd>0</math>, determina el nuevo valor de <math>\theta</math> para que haya equilibrio mecánico.


= Solución =


== Energía potencial ==
=[[ Sep. 2018 (M.R.) Barra rotando alrededor de barra horizontal con muelle | Barra rotando alrededor de barra horizontal con muelle]]=
El sistema tiene sólo un grado de libertad, el ángulo <math>\theta</math> indicado en la figura.
[[Imagen:MR_2018_barras_muelle_enunciado.png|right]]
La energía potencial del sistema tiene dos componentes: gravitatoria y elástica.  


Escogemos como referencia de energía potencial gravitatoria la altura correspondiente a <math>x_1=0</math>.
Una barra de longitud <math>2d</math> y masa despreciable (sólido "0") puede rotar alrededor del eje <math>OZ_1</math>.  El punto <math>O</math> de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra, también de longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto <math>A</math>. El pasador desliza sobre la barra "0". Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0". Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula <math>l_0=d</math> conecta los puntos <math>O</math> y <math>A</math>.
Los vectores de posición de los centros de las barra son
#Determina las reducciones cinemáticas <math>\{01\}, \{20\}</math> y <math>\{21\}</math> en <math>G</math>.
<center>
#Calcula  el momento cinético de la barra "2" respecto de <math>G</math>.
<math>
#A partir de ahora suponemos que <math>\phi=\dot{\phi}=\ddot{\phi}=0</math>, es decir, la coordenada <math>\phi</math> ya no es un grado de libertad. Escribe las ecuaciones de Lagrange del sistema.
\begin{array}{l}
#En <math>t=0</math> tenemos <math>s(0)=d</math>, <math>\theta(0)=-\pi/2</math>, <math>\dot{s}(0)=0</math> y <math>\dot{\theta}=0</math> (<math>\phi</math> sigue estando fijada).  La barra "2" recibe una percusión <math>\vec{\hat{F}} = [\hat{F}_0, 0, \hat{F}_0]_1</math> en el punto B. Determina el estado del sistema justo después de la percusión.
\overrightarrow{AG}_0 = 3d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\\
\\
\overrightarrow{AG}_2 = d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}
</math>
</center>
La energía potencial gravitatoria es la suma de la energía de cada una de las barras
<center>
<math>
U_g = U_{g0} + U_{g2} = -mg\overrightarrow{AG}_0\cdot\vec{\imath}_1 -mg\overrightarrow{AG}_2\cdot\vec{\imath}_1=-4mgd\,\mathrm{sen}\,\theta
</math>
</center>
El muelle tiene longitud natural nula, por lo que la energía potencial elástica es
<center>
<math>
U_k = \dfrac{1}{2}k|\overrightarrow{AC}|^2 = 8kd^2\mathrm{sen}^2\theta
</math>
</center>
La energía potencial total es
<center>
<math>
U = U_g + U_k = -4mgd\,\mathrm{sen}\,\theta + 8kd^2\mathrm{sen}^2\theta
</math>
</center>
 
== Equilibrio mecánico ==
Aplicando la condición <math>mg=kd</math> la expresión de la energía potencial total es
<center>
<math>
U = 4kd^2(2\,\mathrm{sen}^2\theta -\,\mathrm{sen}\,\theta)
</math>
</center>
Como no hay fuerzas aplicadas no conservativas y los vínculos son ideales, las posiciones de equilibrio
mecánico corresponden a los mínimos de la energía potencial. La derivada de la energía potencial respecto
al grado de libertad es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta} = 4kd^2\,(4\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta - \cos\theta)
</math>
</center>
Igualando a cero esta derivada obtenemos las posiciones de equilibrio
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\cos\theta = 0 & \to & \theta_1 = \pi/2\\
\mathrm{sen}\,\theta = 1/4 & \to & \theta_2 = \mathrm{arcsen}(1/4)
\end{array}
</math>
</center>
El primer valor corresponde a la situación en que las barras están completamente verticales y el muelle
completamente estirado. Para discriminar la estabilidad del equilibrio debemos ver el signo de la segunda
derivada evaluada en estos valores del ángulo. La derivada segunda es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2} = 4kd^2\,(4-8\,\mathrm{sen}^2\theta + \,\mathrm{sen}\,\theta)
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\left.\dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2}\right|_{\theta=\theta_1} = -12kd^2 <0 & \to & \mathrm{max}
\\
&&\\
\left.\dfrac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\theta^2}\right|_{\theta=\theta_2} = 15kd^2 <0 & \to & \mathrm{min}
\end{array}
</math>
</center>
Entonces, <math>\theta_1</math> corresponde a un equilibrio inestable y <math>\theta_2</math> a un equilibrio
estable.
 
Alternativamente, podemos llegar a este resultado directamente a partir de la energía potencial. Completando cuadrados podemos escribirla en la forma
 
<center><math>U=8kd^2\left(\mathrm{sen}^2\theta-\frac{1}{2}\mathrm{sen}\,\theta\right)=8kd^2\left(\left(\mathrm{sen}\,\theta-\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{16}\right)</math></center>
 
Al ser el primer paréntesis siempre positivo, se ve que el mínimo en la energía se alcanza cuando se anula dicho paréntesis, es decir cuando <math>\mathrm{sen}\,\theta=1/4</math>.
 
== Equilibrio con fuerza aplicada ==
Ahora se aplica una fuerza no conservativa sobre el sistema. La condición de equilibrio ahora es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\theta} = Q_{\theta}^{NC}
</math>
</center>
La fuerza generalizada es
<center>
<math>
Q_{\theta}^{NC} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial\vec{r}^{B}}{\partial\theta}
</math>
</center>
con <math>\vec{F} = 2kd\,\vec{\imath}_1</math>.
Tenemos
<center>
<math>
\vec{r}^{\,B} = \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AG}_0 = 2d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + 2d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
Q_{\theta}^{NC} = 4kd^2\cos\theta
</math>
</center>
La condición de equilibrio queda
<center>
<math>
4kd^2\,(4\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta - \cos\theta) = 4kd^2\cos\theta
\Longrightarrow
2\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta = \cos\theta
</math>
</center>
Tenemos de nuevo dos soluciones
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\cos\theta = 0 & \to & \theta_1 = \pi/2\\
\mathrm{sen}\,\theta = 1/2 & \to & \theta_2 = \pi/6
\end{array}
</math>
</center>
No se pedía discutir la estabilidad de estas soluciones, pues no
basta con examinar la segunda derivada de la energía potencial.
 
[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Revisión actual - 11:49 8 nov 2023

Disco rodando sobre escuadra giratoria

Un disco (sólido "2") de masa y radio , rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano con velocidad angular constante .

  1. Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del problema en el centro del disco .
  2. Calcula el momento cinético del disco respecto a y , su energía cinética y su energía potencial.
  3. Aplicando los métodos de la Mecánica Vectorial, encuentra las ecuaciones de movimiento del disco. ¿Cuál es la frecuencia propia de oscilación del sistema (también llamada frecuencia natural)?
  4. Encuentra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra (sólido "0") para que se mueva de la forma descrita.


Barra rotando alrededor de barra horizontal con muelle

Una barra de longitud y masa despreciable (sólido "0") puede rotar alrededor del eje . El punto de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano . Otra barra, también de longitud y masa (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto . El pasador desliza sobre la barra "0". Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0". Un muelle de constante elástica y longitud natural nula conecta los puntos y .

  1. Determina las reducciones cinemáticas y en .
  2. Calcula el momento cinético de la barra "2" respecto de .
  3. A partir de ahora suponemos que , es decir, la coordenada ya no es un grado de libertad. Escribe las ecuaciones de Lagrange del sistema.
  4. En tenemos , , y ( sigue estando fijada). La barra "2" recibe una percusión en el punto B. Determina el estado del sistema justo después de la percusión.