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| = Enunciado =
| | [[Primera Prueba de Control 2017/18 (MR G.I.C.) | Primera Prueba de Control, Nov. 2017]] |
| [[Imagen:MR_disco_cavidad_muelle_torsion_enunciado.png|right]] | |
| Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre
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| una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio <math>3R</math>. En el centro del
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| disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud <math>2R</math>. El otro
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| extremo de la barra se articula en un punto fijo <math>O</math>. La barra está conectada
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| a su vez a un resorte de torsión en el punto <math>O</math>. Este resorte ejerce
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| un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él
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| se puede expresar como <math>U_k = k \phi^2</math>, siendo <math>k</math> una constante.
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| #Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre <math>\dot{\phi}</math> y <math>\dot{\psi}</math>?.
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| #Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
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| #Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo <math>\phi</math> es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
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| #Estando el disco en reposo y con <math>\phi=0</math>, se aplica al centro del disco una percusión <math>\hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0</math>. Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje <math>OY_1</math>.
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| = Solución =
| | [[Segunda Prueba de Control 2017/18 (MR G.I.C.) | Segunda Prueba de Control, Nov. 2017]] |
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| == Reducciones cinemáticas ==
| | [[ Primera Convocatoria 2017/18 (MR G.I.C.) | Primera Convocatoria, Ene. 2018]] |
| === Movimiento {01} ===
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| Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_1,
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| \qquad\qquad
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| \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.
| |
| </math>
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| </center>
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| Calculamos también la velocidad del centro de masas
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}=
| |
| 2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0.
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| </math>
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| </center>
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| Hemos usado que
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| <center>
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| <math>
| |
| \overrightarrow{OG} = 2R\,\vec{\imath}_0.
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| </math>
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| </center>
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| === Movimiento {20} ===
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| Del dibujo vemos
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{\omega}_{20} = -\dot{\psi}\,\vec{k}_1,
| |
| \qquad\qquad
| |
| \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.
| |
| </math>
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| </center>
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| === Movimiento {21} ===
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| Usando la composición {21} = {20} + {01} tenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| \begin{array}{l}
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| \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = (\dot{\phi}-\dot{\psi})\,\vec{k}_1,
| |
| \\
| |
| \\
| |
| \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} = 2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_1.
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| La relación entre las derivadas de los ángulos se obtiene imponiendo que, al ser una rodadura sin deslizamiento, se cumple
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{0}.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GD}
| |
| =
| |
| (2R\dot{\phi} +(\dot{\phi}-\dot{\psi})R)\,\vec{\jmath}_0 = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
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| \dot{\psi} = 3\dot{\phi}.
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| </math>
| |
| </center>
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| == Energía cinética y potencial del disco ==
| | [[ Segunda Convocatoria 2017/18 (MR G.I.C.) | Segunda Convocatoria, Sep. 2018]] |
| Al ser un movimiento plano la energía cinética es
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| <center>
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| <math>
| |
| T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2 =
| |
| 3mR^2\dot{\phi}^2.
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| </math>
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| </center>
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| El momento de inercia del disco es <math>I=mR^2/2</math>.
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| Tenemos energía potencial gravitatoria y elástica. Para la gravitatoria elegimos como referencia la línea <math>y_1=0</math>, por tanto
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| <center>
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| <math>
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| U_g = -2mgR\cos\phi.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| El enunciado nos da la energía potencial elástica del muelle de torsión
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| <center>
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| <math>
| |
| U_k = k\phi^2
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Entonces la energía potencial total es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| U = U_g + U_k = k\phi^2 - 2mgR\cos\phi.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La energía mecánica es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| E = T + U = 3mR^2\dot{\phi}^2 + k\phi^2 - 2mgR\cos\phi.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| | |
| == Lagrangiana y ecuación de movimiento ==
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| La función de Lagrange es
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| <center>
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| <math>
| |
| L = T - U = 3mR^2\dot{\phi}^2 - k\phi^2 + 2mgR\cos\phi.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La ecuación de movimiento es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \dfrac{\mathrm{d}\,}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\phi} = 0
| |
| </math>
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| </center>
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| Haciendo las derivadas obtenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| 3mR^2\ddot{\phi} + mgR\mathrm{sen}\,\phi + k\phi = 0.
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| </math>
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| </center>
| |
| Para ángulos pequeños podemos sustituir el seno por el primer término del desarrollo de Taylor
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \mathrm{sen}\,\phi = \phi + O(\phi^3),
| |
| </math>
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| </center>
| |
| y podemos escribir la ecuación diferencial como
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| <center>
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| <math>
| |
| \ddot{\phi} = - \dfrac{mgR+k}{3mR^2}\,\phi.
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| </math>
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| </center>
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| Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular <math>\omega = \sqrt{(mgR+k)/3mR^2}</math> y período
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| <center>
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| <math>
| |
| T_{\omega} = \dfrac{2\pi}{\omega} =
| |
| 2\pi\sqrt{\dfrac{3mR^2}{mgR+k}}.
| |
| </math>
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| </center>
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| | |
| == Percusión ==
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| La ecuación de Lagrange percusiva es
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| <center>
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| <math>
| |
| \Delta p_{\phi} = \hat{Q}_{\phi}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El momento generalizado es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = 6mR^2\dot{\phi}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| y por tanto
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta p_{\phi} = 6mR^2(\phi(0^+) -\phi(0^-)) = 6mR^2\dot{\phi}(0^+).
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| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la percusión generalizada tenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| \hat{Q}_{\phi} = \hat{\vec{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,G}_{21}}{\partial\dot{\phi}}
| |
| =
| |
| \left(\hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0\right)\cdot\left(2R\,\vec{\jmath}_1\right) =
| |
| 2\hat{F}_0R\,\vec{\jmath}_0\cdot\vec{\jmath}_1.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Ahora bien, en el instante inicial <math>\phi(0)=0</math>, los ejes <math>OY_1</math> y <math>OY_0</math> coinciden y se tiene <math>\vec{\jmath}_1(0) = \vec{\jmath}_0(0)</math>. Por tanto
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| <center>
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| <math>
| |
| \hat{Q}_{\phi} =
| |
| 2\hat{F}_0R.
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| </math>
| |
| </center>
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| Por tanto la velocidad generalizada después de la percusión es
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| <center>
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| <math>
| |
| \dot{\phi}(0^+) = \dfrac{\hat{F}_0}{3mR}.
| |
| </math>
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| </center>
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| Durante la percusión <math>\phi=0</math>. Así pues,
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| la energía mecánica justo después de la percusión es
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| <center>
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| <math>
| |
| E(0^+) = \dfrac{\hat{F}^2_0}{3m} - 2mgR
| |
| </math>
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| </center>
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| Para que el disco llegue arriba (<math>\phi=\pi/2)</math> con velocidad del centro de masas la energía mecánica final debe ser
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| <center>
| |
| <math>
| |
| E = k\dfrac{\pi^2}{4}.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Por tanto la condición es
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| <center>
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| <math>
| |
| \hat{F}_0 \geq \sqrt{3m\,\left(2mgR + \dfrac{\pi^2}{4}k\right)}.
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica Impulsiva]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
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