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Línea 1: Línea 1:
= Enunciado =
[[Imagen:MR_disco_cavidad_muelle_torsion_enunciado.png|right]]
Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre
una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio <math>3R</math>. En el centro del
disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud <math>2R</math>. El otro
extremo de la barra se articula en un punto fijo <math>O</math>. La barra está conectada
a su vez a un resorte de torsión en el punto <math>O</math>. Este resorte ejerce
un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él
se puede expresar como <math>U_k = k \phi^2</math>, siendo <math>k</math> una constante.
#Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre <math>\dot{\phi}</math> y <math>\dot{\psi}</math>?.
#Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
#Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo <math>\phi</math> es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
#Estando el disco en reposo y con <math>\phi=0</math>, se aplica al centro del disco una percusión <math>\hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0</math>.  Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje <math>OY_1</math>.


= Solución =
== Reducciones cinemáticas ==
=== Movimiento {01} ===
Tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_1,
\qquad\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.
</math>
</center>
Calculamos también la velocidad del centro de masas
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}=
2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
Hemos usado que
<center>
<math>
\overrightarrow{OG} = 2R\,\vec{\imath}_0.
</math>
</center>
=== Movimiento {20} ===
Del dibujo vemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = -\dot{\psi}\,\vec{k}_1,
\qquad\qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.
</math>
</center>
=== Movimiento {21} ===
Usando la composición {21} = {20} + {01} tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = (\dot{\phi}-\dot{\psi})\,\vec{k}_1,
\\
\\
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} = 2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
La relación entre las derivadas de los ángulos se obtiene imponiendo que, al ser una rodadura sin deslizamiento, se cumple
<center>
<math>
\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{0}.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GD}
=
(2R\dot{\phi} +(\dot{\phi}-\dot{\psi})R)\,\vec{\jmath}_0 = \vec{0}
\Longrightarrow
\dot{\psi} = 3\dot{\phi}.
</math>
</center>
== Energía cinética y potencial del disco ==
Al ser un movimiento plano la energía cinética es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2 =
3mR^2\dot{\phi}^2.
</math>
</center>
El momento de inercia del disco es <math>I=mR^2/2</math>.
Tenemos energía potencial gravitatoria y elástica. Para la gravitatoria elegimos como referencia la línea <math>y_1=0</math>, por tanto
<center>
<math>
U_g = -2mgR\cos\phi.
</math>
</center>
El enunciado nos da la energía potencial elástica del muelle de torsión
<center>
<math>
U_k = k\phi^2
</math>
</center>
Entonces la energía potencial total es
<center>
<math>
U = U_g + U_k = k\phi^2 - 2mgR\cos\phi.
</math>
</center>
La energía mecánica es
<center>
<math>
E = T + U = 3mR^2\dot{\phi}^2 + k\phi^2 - 2mgR\cos\phi.
</math>
</center>
== Lagrangiana y ecuación de movimiento ==
La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U =  3mR^2\dot{\phi}^2 - k\phi^2 + 2mgR\cos\phi.
</math>
</center>
La ecuación de movimiento es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\,}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\phi} = 0
</math>
</center>
Haciendo las derivadas obtenemos
<center>
<math>
3mR^2\ddot{\phi} + mgR\mathrm{sen}\,\phi + k\phi = 0.
</math>
</center>
Para ángulos pequeños podemos sustituir el seno por el primer término del desarrollo de Taylor
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\phi = \phi + O(\phi^3),
</math>
</center>
y podemos escribir la ecuación diferencial como
<center>
<math>
\ddot{\phi} = - \dfrac{mgR+k}{3mR^2}\,\phi.
</math>
</center>
Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular <math>\omega = \sqrt{(mgR+k)/3mR^2}</math> y período
<center>
<math>
T_{\omega} = \dfrac{2\pi}{\omega} =
2\pi\sqrt{\dfrac{3mR^2}{mgR+k}}.
</math>
</center>
== Percusión ==
La ecuación de Lagrange percusiva es
<center>
<math>
\Delta p_{\phi} = \hat{Q}_{\phi}
</math>
</center>
El momento generalizado es
<center>
<math>
p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = 6mR^2\dot{\phi}
</math>
</center>
y por tanto
<center>
<math>
\Delta p_{\phi} = 6mR^2(\phi(0^+) -\phi(0^-)) = 6mR^2\dot{\phi}(0^+).
</math>
</center>
Para la percusión generalizada tenemos
<center>
<math>
\hat{Q}_{\phi} = \hat{\vec{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,G}_{21}}{\partial\dot{\phi}}
=
\left(\hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0\right)\cdot\left(2R\,\vec{\jmath}_1\right) =
2\hat{F}_0R\,\vec{\jmath}_0\cdot\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Ahora bien, en el instante inicial <math>\phi(0)=0</math>, los ejes <math>OY_1</math> y <math>OY_0</math> coinciden y se tiene <math>\vec{\jmath}_1(0) = \vec{\jmath}_0(0)</math>. Por tanto
<center>
<math>
\hat{Q}_{\phi} =
2\hat{F}_0R.
</math>
</center>
Por tanto la velocidad generalizada después de la percusión es
<center>
<math>
\dot{\phi}(0^+) = \dfrac{\hat{F}_0}{3mR}.
</math>
</center>
Durante la percusión <math>\phi=0</math>. Así pues,
la energía mecánica justo después de la percusión es
<center>
<math>
E(0^+) = \dfrac{\hat{F}^2_0}{3m} - 2mgR
</math>
</center>
Para que el disco llegue arriba (<math>\phi=\pi/2)</math> con velocidad del centro de masas la energía mecánica final debe ser
<center>
<math>
E = k\dfrac{\pi^2}{4}.
</math>
</center>
Por tanto la condición es
<center>
<math>
\hat{F}_0 \geq \sqrt{3m\,\left(2mgR + \dfrac{\pi^2}{4}k\right)}.
</math>
</center>
[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
[[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]
[[Categoría:Problemas de Dinámica Impulsiva]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Revisión actual - 12:46 8 nov 2023

Enunciado

Un disco de radio y masa (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio . En el centro del disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud . El otro extremo de la barra se articula en un punto fijo . La barra está conectada a su vez a un resorte de torsión en el punto . Este resorte ejerce un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él se puede expresar como , siendo una constante.

  1. Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre y ?.
  2. Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
  3. Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
  4. Estando el disco en reposo y con , se aplica al centro del disco una percusión . Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje .

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Tenemos

Calculamos también la velocidad del centro de masas

Hemos usado que

Movimiento {20}

Del dibujo vemos

Movimiento {21}

Usando la composición {21} = {20} + {01} tenemos

La relación entre las derivadas de los ángulos se obtiene imponiendo que, al ser una rodadura sin deslizamiento, se cumple

Tenemos

Energía cinética y potencial del disco

Al ser un movimiento plano la energía cinética es

El momento de inercia del disco es .

Tenemos energía potencial gravitatoria y elástica. Para la gravitatoria elegimos como referencia la línea , por tanto

El enunciado nos da la energía potencial elástica del muelle de torsión

Entonces la energía potencial total es

La energía mecánica es

Lagrangiana y ecuación de movimiento

La función de Lagrange es

La ecuación de movimiento es

Haciendo las derivadas obtenemos

Para ángulos pequeños podemos sustituir el seno por el primer término del desarrollo de Taylor

y podemos escribir la ecuación diferencial como

Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular y período

Percusión

La ecuación de Lagrange percusiva es

El momento generalizado es

y por tanto

Para la percusión generalizada tenemos

Ahora bien, en el instante inicial , los ejes y coinciden y se tiene . Por tanto

Por tanto la velocidad generalizada después de la percusión es

Durante la percusión . Así pues, la energía mecánica justo después de la percusión es

Para que el disco llegue arriba ( con velocidad del centro de masas la energía mecánica final debe ser

Por tanto la condición es

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