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Campos en un condensador en CA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separadas una distancia a (a\ll b); entre ellas hay vacío. Entre los centros de las placas se establece una tensión V0cosωt.
  1. Halle, en primera aproximación, el campo eléctrico que se establece entre las placas.
  2. Determine el campo magnético inducido en el espacio entre las placas, según la ley de Ampère-Maxwell.
  3. Calcule la primera corrección en el campo eléctrico obtenido en (1) de acuerdo con la ley de Faraday. ¿Para qué valor del radio empieza a ser importante esta corrección (esto es, comparable al campo estático)?
  4. Determine la impedancia del elemento para el orden de aproximación del apartado anterior. ¿Cuál sería el circuito equivalente hasta este orden?
  5. Indique como serían las siguientes correcciones, tanto en \mathbf{E} como en \mathbf{B}.

2 Introducción

Éste es el típico problema que se plantea a la hora de estudiar las limitaciones de la teoría de circuitos. Por ello, suele aparecer en casi todos los libros de texto.

La idea es resolver las ecuaciones de Maxwell a base de correcciones sucesivas, en lugar de intentar resolverlas completamente de entrada, esto es, se trata de obtener un desarrollo perturbativo. Veámoslo paso a paso.

3 Campo eléctrico

Si admitimos que ambas placas son perfectamente conductoras el campo eléctrico en el interior de las mismas es estrictamente nulo y, en primera aproximación, las superficies son equipotenciales. Si despreciamos los efectos de borde, el campo en todos los puntos entre las placas es el mismo e igual a

\mathbf{E}=\frac{V}{a}\mathbf{u}_{z}

4 Campo magnético

Hemos supuesto que la fórmula anterior es válida cualquiera que sea el voltaje entre las placas, inclusive si es variable con el tiempo (como es el caso). Ahora bien, según la ley de Ampère-Maxwell, la circulación del campo magnético debe incluir la presencia de un campo eléctrico variable. Expresando esta ley en forma integral como

\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\mu_0\int \mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}+\varepsilon_0\mu_0\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\int \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}

y aplicándola a un contorno circular centrado en el eje, resulta que el primer miembro, dada la simetría del sistema, es

\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=2\pi\rho B

mientras que el segundo vale (teniendo en cuenta que la corriente de conducción es nula en el interior del condensador)

\mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\int \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\pi
\rho^2}{ac^2}\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}


donde
c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 3\times 10^8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

es la velocidad de la luz en el vacío. Igualando estas dos expresiones llegamos al campo magnético en el interior del condensador

\mathbf{B}=\frac{\rho }{2 a c^2}\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\,\mathbf{u}_{\varphi}

Vemos que el campo es acimutal y crece con la distancia al eje (ya que al alejarnos del mismo abarcamos una cantidad mayor de corriente de desplazamiento).

5 Corrección al campo eléctrico

Al llegar a este punto, observamos una inconsistencia en nuestros razonamientos. Al empezar establecimos que las placas eran equipotenciales, presumiendo que el voltaje era una función perfectamente definida. Sin embargo, acabamos de ver que en el interior del condensador hay un campo magnético variable en el tiempo y, de acuerdo con la ley de Faraday, el campo eléctrico debe tener circulación no nula a través de un contorno cerrado, resultando que la integral del campo eléctrico (esto es, el voltaje) depende del camino elegido. ¿A que nos referimos entonces cuando decimos que entre las placas se establece un voltaje V(t)? Debemos elegir un camino concreto para dar esta cantidad. Tomaremos la línea recta que une los centros de las placas.

Encontramos ahora que los apartados (1) y (2) son contradictorios ya que, según el primero, la circulación de \mathbf{E} es nula en cualquier camino cerrado, mientras que, según (2) no lo es. La respuesta es que el primer resultado era solo aproximado y no incluía el campo eléctrico inducido por el campo magnético (el cual, a su vez, está generado por el campo eléctrico, como acabamos de ver).

Obtenemos la primera corrección tomando un contorno rectangular como el de la figura. Según la ley de Faraday

\oint \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\int \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}

La circulación del campo eléctrico vale

\oint \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=E(\rho=0)a-E(\rho)a=V-E a

(ya que en las placas el campo es nulo y admitimos que el campo es perpendicular a las mismas) mientras que la variación del flujo magnético a través de la superficie vale

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\int\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\rho^2}{4
c^2}\,\frac{\mathrm{d}^2V}{\mathrm{d}t^2}

lo que nos da, para el campo eléctrico

\mathbf{E}(\rho)=\left(\frac{V}{a}+
\frac{\rho^2}{4ac^2}\,\frac{\mathrm{d}^2V}{\mathrm{d}t^2}\right)\mathbf{u}_{z}

Vemos como, junto al campo estacionario de (1) ha aparecido una corrección.

Para el caso particular de que el campo varíe sinusoidalmente resulta

\mathbf{E}=\frac{V_0\cos\omega t}{a}\left(1-\frac{\omega^2\rho^2}{4c^2}\right)\mathbf{u}_{z}

Según esto, el campo no será uniforme entre las placas, sino que decae parabólicamente, siendo mayor la diferencia con el campo estático cuanto mayor sea ρ, alcanzando su máximo en ρ = b.

La corrección que hemos añadido será importante cuando

\frac{\omega^2 b^2}{4c^2}\sim 1\quad\Rightarrow\quad b\sim
\frac{2c}{\omega}=\frac{\lambda}{\pi}

Aquí λ = c / f (con f = ω / 2π) es la longitud de onda del sistema, esto es, la longitud de una onda electromagnética cuya frecuencia fuera la misma que la del sistema. Para una frecuencia de 50 Hz, la longitud de onda correspondiente es de unos 6000 km, lo cual hace que la corrección para un condensador de laboratorio sea del orden de una parte entre un trillón, esto es, perfectamente despreciable.

La situación cambia cuando la frecuencia crece y para oscilaciones del orden del gigahercio (correspondiente a las microondas) es preciso incluir completamente los efectos de radiación.

Cuando esta corrección es pequeña, pueden incorporarse sus efectos añadiendo una autoinducción parásita puesta en serie con el condensador. Los resultados anteriores prueban que tal autoinducción no se debe a alguna imperfección en el condensador, sino que procede de las propias ecuaciones de Maxwell.

6 Impedancia

Cuando se tienen en cuenta estas correcciones, ya el sistema deja de comportarse como un condensador en términos de su respuesta en un circuito.

En esta aproximación, la corriente que llega por el cable la podemos calcular a partir de la circulación del campo magnético

I = \frac{1}{\mu_0}\oint \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

Considerando una circunferencia en el borde del dispositivo queda

I = \frac{1}{\mu_0}2\pi b B(\rho=b) = \frac{\varepsilon_0\pi b^2}{a}\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}

En el caso particular de corriente alterna y empleando fasores

\tilde{I} = \mathrm{j}\omega \frac{\varepsilon_0 \pi b^2}{a} V_0 =

Este voltaje V0 no coincide con el que mide un voltímetro, ya que dicho voltímetro estará situado en el exterior del dispositivo. El voltaje medido será

\Delta V = E(\rho=b)a = V_0\left(1-\frac{\omega^2 b^2}{4c^2}\right)

y por tanto la impedancia vista desde el exterior es

Z = \frac{\Delta V}{I} = \frac{1-\omega^2 b^2/4c^2}{\mathrm{j}\omega \varepsilon \pi b^2/a}

Separando fracciones

Z = \frac{1}{\mathrm{j}\omega C}+ \mathrm{j}\omega L\qquad C = \frac{\varepsilon_0\pi b^2}{a}\qquad L = \frac{\mu_0 a}{4\pi}

Vemos entonces que el circuito equivalente en este orden de aproximación se compone de un condensador y una autoinducción. La presencia del condensador era de esperar, pero la de la autoinducción puede resultar sorprendente, pues no hay bobina alguna en el distpositivo. Este tipo de elementos que deben incluirse para tener en cuenta las correcciones se denominan “elementos parásitos”, pero hay que recalcar que se trata simplemente de un efecto debido a la alta frecuencia de trabajo y que simplemente refleja las limitaciones de teoría de circuitos.

7 Correcciones sucesivas

Las siguientes correcciones siguen una tendencia alternante. Del mismo modo que el cambio en el campo eléctrico es negativo, también lo es para el campo magnético por lo que la siguiente corrección para el campo eléctrico es positiva y así sucesivamente. Si se efectúan los cálculos puede verse que el valor del campo eléctrico va como

\mathbf{E}=\frac{V}{a}
\left(1-\frac{1}{(1!)^2}\left(\frac{\omega\rho}{2c}\right)^2+
\frac{1}{(2!)^2}\left(\frac{\omega\rho}{2c}\right)^4+\cdots\right)\mathbf{u}_{z}=
\frac{V\mathbf{u}_{z}}{a}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n!)^2}
\left(\frac{\omega\rho}{2c}\right)^{2n}

La serie anterior se expresa de una forma más breve con ayuda de las funciones de Bessel

\mathbf{E}=\frac{V_0\cos\omega t}{a}\mathrm{J}_0\left(\frac{\omega
\rho}{c}\right)\mathbf{u}_{z}

Una propiedad importante de las funciones de Bessel es que poseen ceros, esto es, valores del argumento para los cuales la función se anula. Esto quiere decir que para valores suficientemente grandes de la frecuencia (o del radio) el campo eléctrico se anula. Para éste valor del radio podríamos poner una pared metálica que rodeara el condensador y el sistema no se vería afectado en lo más mínimo, ya que seguiría cumpliendo las condiciones de contorno, sólo que en este caso los campos estarían confinados entre paredes metálicas. Se dice entonces que hemos construido una cavidad resonante.

Para una situación de este tipo, el sistema dejaría completamente de ser un condensador.

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