Partícula sobre una rampa con muelle

Enunciado

Para lanzar una partícula material de masa $m$ se dispone de una rampa de lanzamiento de longitud $l$ y un resorte de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula que tiene el extremo fijado al punto $A$ de la rampa. Para proceder al lanzamiento, la partícula se coloca en el otro extremo del resorte, situado en el punto $O$.

1. Determina las condiciones iniciales de posición y velocidad para el movimiento libre de la partícula (cuando la partícula abandona la rampa en el punto $A$), en función del ángulo $\alpha$ que forma la rampa con la horizontal, en las siguientes situaciones
   1. El rozamiento de la partícula en la rampa es despreciable.
   2. El rozamiento seco de la partícula en la rampa está caracterizado por un coeficiente dinámico $\mu$.
2. Calcula la altura máxima de la partícula respecto del suelo en las dos situaciones del apartado anterior.

Solución

Rozamiento nulo

Condiciones en el punto $A$

La partícula se mueve sobre la rampa impulsada por el resorte y bajo la acción de la gravedad. Se trata de dos fuerzas conservativas, por lo que podemos aplicar la conservación de la energía mecánica. Escogemos como origen de energía potencial la altura del punto $O$. Cuando la partícula está en el punto $O$ se encuentra en reposo, por lo que su energía mecánica es se debe a la energía potencial del muelle.

$E_{O}={\dfrac {1}{2}}\,k\,l^{2}$

Cuando llega al punto $O$ la energía potencial del muelle es cero, el módulo de su velocidad es $v_{A}$ y la altura sobre el punto $O$ es $h=l\,\mathrm {sen} \,\alpha$. La energía mecánica en $A$ es

$E_{A}={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{A}^{2}+m\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\alpha$

Igualando las dos energías obtenemos el módulo de la velocidad

$v_{A}={\sqrt {{\dfrac {k\,l^{2}}{m}}-2\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\alpha }}$

El vector de posición del punto $A$, tomando como origen el punto $O$, es

${\vec {r}}_{A}=l\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+l\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}$

En el punto $A$ el vector velocidad es tangente a la rampa. Por tanto

${\vec {v}}_{A}=v_{A}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+v_{A}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}$

donde $v_{A}$ es la expresión obtenida anteriormente.

Comentarios sobre la expresión de la velocidad

El módulo de la velocidad no puede ser un número complejo. Para que la solución obtenida tenga sentido el radicando debe ser positivo. Es decir

${\dfrac {k\,l^{2}}{m}}\geq 2\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\alpha \Longrightarrow {\dfrac {k\,l^{2}}{2}}\geq m\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\alpha =m\,g\,h_{A}$

Esta expresión significa que la energía elástica del muelle cuando está estirado debe ser mayor que la variación de energía potencial gravitatoria entre el punto $O$ y el punto $A$. Si esto no ocurre, la partícula se para antes de llegar a lo alto de la rampa.

Altura máxima

Tras abandonar la rampa, la única fuerza que actúa sobre la partícula es la de la gravedad. El movimiento que describe es el de un tiro parabólico. La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad se hace cero (punto $P$). Como la componente horizontal es constante, ya que no hay fuerza actuando en la dirección horizontal, en el instante en que la partícula alcanza su punto más alto su energía cinética es

$K_{max}={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{Ax}^{2}={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{A}^{2}\cos ^{2}\alpha$

También en ese instante la energía potencial gravitatoria respecto al suelo es

$U_{g}^{max}=m\,g\,h_{max}$

La energía mecánica en este punto debe ser igual a la que tenía la partícula en el punto $A$. Además, en este caso en el que no hay rozamiento, es igual a la energía mecánica de la partícula en el punto $O$. Por tanto

$E_{P}=E_{A}\Longrightarrow {\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{A}^{2}\cos ^{2}\alpha +m\,g\,h_{max}={\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{A}^{2}+m\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\alpha$

Despejando obtenemos

$h_{max}=l\,\mathrm {sen} \,\alpha +{\dfrac {v_{A}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\alpha }{2g}}$

Con rozamiento

Condiciones en el punto $A$

El planteamiento del problema es similar. La única diferencia es que la energía mecánica no se conserva en el movimiento de la partícula sobre la rampa. Hay que tener en cuenta el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Tenemos

$E_{A}=E_{O}+W_{roz}$

Al ser un rozamiento dinámico, el módulo de la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que el plano ejerce sobre la partícula. La fuerza de rozamiento es constante y opuesta a la velocidad de la partícula sobre la rampa. Tenemos por tanto

$|{\vec {F}}_{roz}|=\mu \,N=\mu \,m\,g\cos \alpha .$

El trabajo de rozamiento en el desplazamiento de la partícula desde el punto $O$ hasta el $A$ es

$W_{roz}=\int \limits _{O}^{A}{\vec {F}}_{roz}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int \limits _{O}^{A}|{\vec {F}}_{roz}|\,\mathrm {d} r=-|{\vec {F}}_{roz}|\,\int \limits _{O}^{A}\mathrm {d} r=-|{\vec {F}}_{roz}|\,l=-\mu \,m\,g\,l\,\cos \alpha$

Obtenemos el módulo de la velocidad del balance de energías

${\dfrac {1}{2}}\,m\,v_{Ar}^{2}+m\,g\,l\,\mathrm {sen} \,\alpha ={\dfrac {1}{2}}\,k\,l^{2}-\mu \,m\,g\,l\,\cos \alpha$

Despejando tenemos

$v_{Ar}={\sqrt {{\dfrac {k\,l^{2}}{m}}-2\,g\,l\,(\mathrm {sen} \,\alpha +\mu \cos \alpha )}}$

Las condiciones iniciales son iguales que en el caso sin rozamiento sustituyendo el valor del módulo de la velocidad por el obtenido aquí

${\begin{array}{l}{\vec {r}}_{A}=l\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+l\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {v}}_{Ar}=v_{Ar}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+v_{Ar}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\\end{array}}$

Altura máxima

El razonamiento es el mismo que en el apartado con rozamiento. El resultado es igual cambiando el módulo de la velocidad por el obtenido aquí. La altura máxima es

$h_{max}=l\,\mathrm {sen} \,\alpha +{\dfrac {v_{Ar}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\alpha }{2g}}$