(Página creada con «== Enunciado == right Para lanzar una partícula material de masa <math>m</math> se dispone de una rampa de lanzamiento de longitud <math>l</math> y un resorte de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula que tiene el extremo fijado al punto <math>A</math> de la rampa. Para proceder al lanzamiento, la partícula se coloca en el otro extremo del resorte, situado en el punto <math>O</math>. #Determin…»)
 
(Página creada con «==Enunciado== right Una partícula <math>P</math>, de masa <math>m</math>, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio <math>R</math> que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así…»)
 
Línea 1: Línea 1:
== Enunciado ==
==Enunciado==
[[Imagen:F1_Sep_11_12_rampa_muelle_enunciado.png|right]]
[[Imagen:F1_GIA_masa_resbalando_sobre_disco_enunciado.png|right]]
Para lanzar una partícula material de masa <math>m</math> se dispone de una rampa
Una partícula <math>P</math>, de masa <math>m</math>, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio <math>R</math> que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.
de lanzamiento de longitud <math>l</math> y un resorte de constante recuperadora <math>k</math> y longitud natural nula
que tiene el extremo fijado al punto <math>A</math> de la rampa. Para proceder al lanzamiento, la partícula se
coloca en el otro extremo del resorte, situado en el punto <math>O</math>.
#Determina las condiciones iniciales de posición y velocidad para el movimiento libre de la partícula (cuando la partícula abandona la rampa en el punto <math>A</math>), en función del ángulo <math>\alpha</math> que forma la rampa con la horizontal, en las siguientes situaciones
##El rozamiento de la partícula en la rampa es despreciable.
##El rozamiento seco de la partícula en la rampa está caracterizado por un coeficiente dinámico <math>\mu</math>.
#Calcula la altura máxima de la partícula respecto del suelo en las dos situaciones del apartado anterior.


== Solución ==
== Solución ==
{{ac|Coordenadas polares}}
Este es un ejemplo de vínculo unilateral. La condición sobre el
movimiento de la partícula es que no penetre en el disco. Mientras hay
contacto con el disco la fuerza de reacción se ajusta para que la
partícula esté siempre fuera de él. Una vez que deja de haber
contacto la partícula se mueve como si fuera libre. Por otro lado hay
un vínculo bilateral que impone que el movimiento se desarrolle en el
plano del dibujo. La inecuación y la ecuación que
definen estos vínculos serían, escogiendo el sistema de ejes de la figura y
usando coordenadas polares
<center><math>
  (1)
  \rho \geq R\qquad\qquad z=0
</math></center>
Esto nos deja un grado de libertad para el movimiento mientras hay
contacto y dos cuando deja de haberlo. Aquí sólo nos interesa
describir el movimiento mientras el contacto existe, para encontrar el
ángulo para el que cesa.


=== Rozamiento nulo ===
[[Imagen:F1_GIA_masa_resbalando_sobre_disco_a.png|right]]
Mientras la partícula desliza sobre el disco, las fuerzas que actúan
sobre ella son su peso y la fuerza de reacción, que es normal al disco
pues suponemos que no hay rozamiento. Usando coordenadas polares
tenemos
<center><math>
  (2)
  \begin{array}{l}
    \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho}\\ \\
    m\vec{g}=-mg\,\vec{\jmath}=-mg\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\rho}-mg\cos\theta\,\vec{u}_{\theta}
  \end{array}
</math></center>
Por otro lado, como vimos en un problema anterior, la aceleración es,
teniendo en cuenta que <math>\rho=R</math>,
<center><math>
  (3)
  \begin{array}{l}
    \vec{r}=R\,\vec{u}_{\rho}\\ \\
    \dot{\vec{r}}=R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\\ \\
    \ddot{\vec{r}}=-R\dot{\theta}^2\vec{u}_{\rho}+R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
  \end{array}
</math></center>
La Segunda Ley de Newton nos da
<center><math>
  (4)
  m\ddot{\vec{r}}=m\vec{g}+\vec{\Phi}
  \Rightarrow
  \left\{
    \begin{array}{l}
      -mR\dot{\theta}^2=-mg\,\mathrm{sen}\,\theta+\Phi\\ \\
      mR\ddot{\theta}=-mg\cos\theta
    \end{array}
\right.
  \Rightarrow
  \left\{
    \begin{array}{l}
      \Phi=mg\,\mathrm{sen}\,\theta-mR\dot{\theta}^2\\ \\
      \ddot{\theta}=-(g/R)\cos\theta
    \end{array}
\right.
</math></center>
Resolviendo la segunda ecuación con las condiciones iniciales
adecuadas tendríamos el movimiento descrito. Pero aquí no podemos
utilizar la aproximación de ángulo pequeño del problema con el aro,
así que no podemos resolver el problema de manera
sencilla. Afortunadamente no es necesario hacerlo para encontrar el
ángulo de separación.


Vamos a examinar la evolución del módulo de la fuerza de reacción,
<math>\Phi</math>. Cuando la masa está arriba, en reposo (<math>v=0</math>), se tiene
<center><math>
  (5)
  \left.
\begin{array}{l} \theta=\pi/2\\ \dot{\theta}=0\end{array}\right\}
\quad\Rightarrow\quad \Phi=mg
</math></center>
En este instante la fuerza de reacción equilibra el peso de la
masa. Cuando empieza a deslizar, <math>\,\mathrm{sen}\,\theta</math> disminuye y
<math>\dot{\theta}</math> aumenta. Por tanto <math>\Phi</math> va disminuyendo. La fuerza de
reacción se va ajustando para obligar a que la partícula no penetre en
el disco. La masa se separa cuando se cumple <math>\Phi=0</math>.


==== Condiciones en el punto <math>A </math> ====
Necesitamos <math>\dot{\theta}</math>, pero para calcularla no hace falta
 
resolver el problema completo. <math>\dot{\theta}</math> está relacionada con el
 
módulo de la velocidad, es decir, con la energía cinética. Entonces,
La partícula se mueve sobre la rampa impulsada por el resorte y bajo la acción de la gravedad. Se trata de dos fuerzas conservativas, por lo que podemos aplicar la conservación de la energía mecánica. Escogemos como origen de energía potencial la altura del punto <math>O </math>.
vamos a aplicar la conservación de energía mecánica para
Cuando la partícula está en el punto <math>O </math> se encuentra en reposo, por lo que su energía mecánica es se debe a la energía potencial del muelle.
calcularla. La energía mecánica en el instante inicial es únicamente
<center>
potencial gravitatoria, pues la partícula parte del reposo. Al ir cayendo, su
<math>
energía potencial disminuye y su energía cinética aumenta, pero su
E_O = \dfrac{1}{2}\,k\,l^2
suma es siempre constante. Tenemos
</math>
<center><math>
</center>
  (6)
Cuando llega al punto <math>O </math> la energía potencial del muelle es cero, el módulo de su velocidad es <math>v_A </math> y la altura sobre el punto <math>O  </math> es <math>h = l\,\mathrm{sen}\,\alpha </math>. La energía mecánica en <math>A </math> es
  \begin{array}{l}
<center>
  E=U(y=R)=mgR=U(y)+T(y) = mgy+\frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow\\ \\
<math>
  v(y) = \sqrt{2g(R-y)}
E_A = \dfrac{1}{2}\,m\,v_A^2 + m\,g\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha
  \end{array}
</math>
</math></center>
</center>
[[Imagen:F1_GIA_masa_resbalando_sobre_disco_b.png|right]]
Igualando las dos energías obtenemos el módulo de la velocidad
Hemos escogido como referencia de energía potencial <math>\left.U\right|_{y=0} = 0</math>.
<center>
De (3) tenemos
<math>
<center><math>
v_A = \sqrt{ \dfrac{k\,l^2}{m} - 2\,g\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha}
  (7)
</math>
  v = |\dot{\vec{r}}| = R\dot{\theta} \Rightarrow
</center>
  \dot{\theta}(y)=\frac{v(y)}{R} = \frac{\sqrt{2g(R-y)}}{R}
El vector de posición del punto <math>A </math>, tomando como origen el punto <math>O </math>, es
</math></center>
<center>
Podemos ahora expresar <math>\Phi</math> en función de <math>\theta</math>
<math>
<center><math>
\vec{r}_A = l\cos\alpha\,\vec{\imath} + l\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
  (8)
</math>
  \begin{array}{ll}
</center>
  \Phi = mg\,\mathrm{sen}\,\theta-\frac{\displaystyle 2mg(R-y)}{\displaystyle R}&=\\ &\\
En el punto <math>A </math> el vector velocidad es tangente a la rampa. Por tanto
  mg ( \,\mathrm{sen}\,\theta-2+2\frac{\displaystyle y}{\displaystyle R})&=mg ( 3\,\mathrm{sen}\,\theta-2)
<center>
  \end{array}
<math>
</math></center>
\vec{v}_A = v_A\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_A\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
Hemos usado que la variable <math>y</math> es
</math>
<center><math>
</center>
  (9)
donde <math>v_A </math> es la expresión obtenida anteriormente.
  y=R\,\mathrm{sen}\,\theta
 
</math></center>
===== Comentarios sobre la expresión de la velocidad =====
Imponiendo <math>\Phi=0</math> obtenemos el ángulo buscado
El módulo de la velocidad no puede ser un número complejo. Para que la solución obtenida tenga sentido el radicando debe ser positivo. Es decir
<center><math>
<center>
  (10)
<math>
  \Phi=0\Longrightarrow \,\mathrm{sen}\,\theta_s=2/3\Longrightarrow
\dfrac{k\,l^2}{m} \geq  2\,g\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha \Longrightarrow \dfrac{k\,l^2}{2} \geq m\,g\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha = m\,g\,h_A
  \theta_s=0.730\,\mathrm{rad}=41.8^o
</math>
</math></center>
</center>
Una vez que se ha interrumpido el contacto, la partícula describe una
Esta expresión significa que la energía elástica del muelle cuando está estirado debe ser mayor que la variación de energía potencial gravitatoria entre el punto <math>O </math> y el punto <math>A </math>. Si esto no ocurre, la partícula se para antes de llegar a lo alto de la rampa.
trayectoria parabólica, pues se mueve libremente en el seno del campo gravitatorio. Podríamos determinar la velocidad inicial y calcular la
 
trayectoria, pero sólo nos piden la velocidad, <math>v_f</math> cuando llega al
 
suelo, es decir, para <math>y=-R</math>. Aplicando la conservación de energía
 
mecánica, tenemos
==== Altura máxima ====
<center><math>
Tras abandonar la rampa, la única fuerza que actúa sobre la partícula es la de la gravedad. El movimiento que describe es el de un tiro parabólico. La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad se hace cero (punto <math>P </math>).
  (11)
Como la componente horizontal es constante, ya que no hay fuerza actuando en la dirección horizontal, en el instante en que la partícula alcanza su punto más alto su energía cinética es
  E = mgR = U(-R)+T(-R)=-mgR+\frac{1}{2}mv_f^2\Longrightarrow
<center>
v_f=2\sqrt{gR}
<math>
</math></center>
K_{max} = \dfrac{1}{2}\,m\,v_{Ax}^2 = \dfrac{1}{2}\,m\,v_A^2\cos^2\alpha
</math>
</center>
También en ese instante la energía potencial gravitatoria respecto al suelo es
<center>
<math>
U_g^{max} = m\,g\,h_{max}
</math>
</center>
La energía mecánica en este punto debe ser igual a la que tenía la partícula en el punto <math>A </math>. Además, en este caso en el que no hay rozamiento, es igual a la energía mecánica de la partícula en el punto <math>O </math>. Por tanto
<center>
<math>
E_P = E_A \Longrightarrow \dfrac{1}{2}\,m\,v_A^2\cos^2\alpha + m\,g\,h_{max} = \dfrac{1}{2}\,m\,v_A^2 + m\,g\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha
</math>
</center>
Despejando obtenemos
<center>
<math>
h_{max} = l\,\mathrm{sen}\,\alpha + \dfrac{v_A^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}
</math>
</center>
 
=== Con rozamiento ===
 
==== Condiciones en el punto <math></math> ====
 
El planteamiento del problema es similar. La única diferencia es que la energía mecánica no se conserva en el movimiento de la partícula sobre la rampa. Hay que tener en cuenta el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Tenemos
<center>
<math>
E_A = E_O + W_{roz}
</math>
</center>
Al ser un rozamiento dinámico, el módulo de la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que el plano ejerce sobre la partícula. La fuerza de rozamiento es constante y opuesta a la velocidad de la partícula sobre la rampa. Tenemos por tanto
<center>
<math>
|\vec{F}_{roz}| = \mu\,N = \mu\,m\,g\cos\alpha.
</math>
</center>
El trabajo de rozamiento en el desplazamiento de la partícula desde el punto <math>O </math> hasta el <math>A  </math> es
<center>
<math>
W_{roz} = \int\limits_O^A\vec{F}_{roz}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\int\limits_O^A|\vec{F}_{roz}|\,\mathrm{d}r =
-|\vec{F}_{roz}|\,\int\limits_O^A\mathrm{d}r = -|\vec{F}_{roz}|\,l
=-\mu\,m\,g\,l\,\cos\alpha
</math>
</center>
Obtenemos el módulo de la velocidad del balance de energías
<center>
<math>
\dfrac{1}{2}\,m\,v_{Ar}^2 + m\,g\,l\,\mathrm{sen}\,\alpha  = \dfrac{1}{2}\,k\,l^2 - \mu\,m\,g\,l\,\cos\alpha
</math>
</center>
Despejando tenemos
<center>
<math>
v_{Ar} = \sqrt{\dfrac{k\,l^2}{m} - 2\,g\,l\,(\mathrm{sen}\,\alpha +\mu\cos\alpha)}
</math>
</center>
Las condiciones iniciales son iguales que en el caso sin rozamiento sustituyendo el valor del módulo de la velocidad por el obtenido aquí
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{r}_A = l\cos\alpha\,\vec{\imath} + l\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} \\ \\
\vec{v}_{Ar} = v_{Ar}\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_{Ar}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath} \\ \\
\end{array}
</math>
</center>
 
==== Altura máxima ====
El razonamiento es el mismo que en el apartado con rozamiento. El resultado es igual cambiando el módulo de la velocidad por el obtenido aquí. La altura máxima es
<center>
<math>
h_{max} = l\,\mathrm{sen}\,\alpha + \dfrac{v_{Ar}^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}
</math>
</center>




[[Categoría:Problemas de Dinámica de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de Dinámica de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]]
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[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]

Revisión del 13:24 31 oct 2023

Enunciado

Una partícula , de masa , es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.

Solución

Artículo completo: Coordenadas polares

Este es un ejemplo de vínculo unilateral. La condición sobre el movimiento de la partícula es que no penetre en el disco. Mientras hay contacto con el disco la fuerza de reacción se ajusta para que la partícula esté siempre fuera de él. Una vez que deja de haber contacto la partícula se mueve como si fuera libre. Por otro lado hay un vínculo bilateral que impone que el movimiento se desarrolle en el plano del dibujo. La inecuación y la ecuación que definen estos vínculos serían, escogiendo el sistema de ejes de la figura y usando coordenadas polares

Esto nos deja un grado de libertad para el movimiento mientras hay contacto y dos cuando deja de haberlo. Aquí sólo nos interesa describir el movimiento mientras el contacto existe, para encontrar el ángulo para el que cesa.

Mientras la partícula desliza sobre el disco, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso y la fuerza de reacción, que es normal al disco pues suponemos que no hay rozamiento. Usando coordenadas polares tenemos

Por otro lado, como vimos en un problema anterior, la aceleración es, teniendo en cuenta que ,

La Segunda Ley de Newton nos da

Resolviendo la segunda ecuación con las condiciones iniciales adecuadas tendríamos el movimiento descrito. Pero aquí no podemos utilizar la aproximación de ángulo pequeño del problema con el aro, así que no podemos resolver el problema de manera sencilla. Afortunadamente no es necesario hacerlo para encontrar el ángulo de separación.

Vamos a examinar la evolución del módulo de la fuerza de reacción, . Cuando la masa está arriba, en reposo (), se tiene

En este instante la fuerza de reacción equilibra el peso de la masa. Cuando empieza a deslizar, disminuye y aumenta. Por tanto va disminuyendo. La fuerza de reacción se va ajustando para obligar a que la partícula no penetre en el disco. La masa se separa cuando se cumple .

Necesitamos , pero para calcularla no hace falta resolver el problema completo. está relacionada con el módulo de la velocidad, es decir, con la energía cinética. Entonces, vamos a aplicar la conservación de energía mecánica para calcularla. La energía mecánica en el instante inicial es únicamente potencial gravitatoria, pues la partícula parte del reposo. Al ir cayendo, su energía potencial disminuye y su energía cinética aumenta, pero su suma es siempre constante. Tenemos

Hemos escogido como referencia de energía potencial . De (3) tenemos

Podemos ahora expresar en función de

Hemos usado que la variable es

Imponiendo obtenemos el ángulo buscado

Una vez que se ha interrumpido el contacto, la partícula describe una trayectoria parabólica, pues se mueve libremente en el seno del campo gravitatorio. Podríamos determinar la velocidad inicial y calcular la trayectoria, pero sólo nos piden la velocidad, cuando llega al suelo, es decir, para . Aplicando la conservación de energía mecánica, tenemos