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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| Una onda estacionaria en una cuerda horizontal de longitud
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| 1.64 m oscila de modo que tiene dos nodos (sin contar los puntos extremos)
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| cuando la frecuencia es de 120 Hz. En los antinodos la distancia entre el punto
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| más alto y el más bajo que alcanza la cuerda es de 8.00 cm.
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| #Escribe una función matemática que describa la onda estacionaria.
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| #Escribe funciones matemáticas que describan las ondas de igual amplitud que viajan en sentidos contrarios y producen la onda estacionaria.
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| #Si la densidad volumétrica de masa de la cuerda es <math>1.00\times10^{-3}\,\mathrm{kg/m}</math>, calcula la tensión a la que está sometida la cuerda.
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| = Solución =
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| == Análisis previo ==
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| El problema nos da información para construir la función matemática que describe
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| una onda estacionaria.
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| == Función matemática ==
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| Una onda estacionaria en una cuerda tensa se describe con una función matemática de la forma
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| <center>
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| <math>
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| y(x,t) = B\,\mathrm{sen}\,(kx)\cos(\omega t).
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| </math>
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| </center>
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| Hay que fijarse en que la dependencia en <math>x</math> viene dada por un seno, no
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| por un coseno. Esto tiene que ser así para que el extremo de la cuerda dado por
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| <math>x=0</math> sea un nodo, es decir, <math>y(0,t)=0</math>. Si se usa un coseno
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| para la dependencia espacial hay que añadir una constante de fase de <math>\pi/2</math>.
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| Obtenemos la frecuencia angular de la frecuencia dada en el enunciado
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| <center>
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| <math>
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| \omega = 2\pi f = 754\,\mathrm{rad/s}.
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| </math>
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| </center>
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| Para obtener el número de onda necesitamos la longitud de onda. El enunciado dice que
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| el modo de oscilación tiene 2 nodos en la cuerda, sin contar los extremos. Entonces
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| corresponde al modo <math>n=3</math>. Entonces
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| <center>
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| <math>
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| \lambda = \lambda_3 = \dfrac{2L}{3} = 1.09\,\mathrm{m}.
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| </math>
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| </center>
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| El número de onda es
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| <center>
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| <math>
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| k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = 5.76\,\mathrm{m^{-1}}.
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| </math>
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| </center>
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| Por último, la distancia entre el punto más alto y el mas bajo de la cuerda en una
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| oscilación es 8.00 cm. Entonces
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| <center>
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| <math>
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| B = 4.00\,\mathrm{cm}.
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| </math>
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| </center>
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| La función matemática es
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| <center>
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| <math>
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| y(x,t) = 4.00 \,\mathrm{sen}\,(5.76x)\cos(754t)\, (\mathrm{cm})
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| </math>
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| </center>
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| con <math>x</math> medido en cm y <math>t</math> en segundos.
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| == Ondas viajeras que forma la onda estacionaria ==
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| La onda estacionaria se produce por la superposición de dos ondas viajera con la
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| misma amplitud, velocidad y frecuencia, pero con sentidos contrarios de propagación
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| <center>
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| <math>
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| y_+(x,t) = A\,\mathrm{sen}\,(kx-\omega t), \qquad
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| y_-(x,t) = A\,\mathrm{sen}\,(kx+\omega t)
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| </math>
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| </center>
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| La superposición de estas dos ondas produce la onda estacionaria
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| <center>
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| <math>
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| y(x,t) = 2A\,\mathrm{sen}\,(kx)\cos(\omega t).
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| </math>
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| </center>
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| Comparando con el apartado anterior vemos que
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| <center>
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| <math>
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| B=2A \Longrightarrow A = 2.00\,\mathrm{cm}.
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| </math>
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| </center>
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| Entonces las dos ondas viajeras son
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| <center>
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| <math>
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| y_+(x,t) = 2.00\,\mathrm{sen}\,(5.76\,x-154\,t)\,\mathrm{(cm)}, \qquad
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| y_-(x,t) = 2.00\,\mathrm{sen}\,(5.76\,x+154\,t)\,\mathrm{(cm)}
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| </math>
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| </center>
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| con <math>x</math> medido en cm y <math>t</math> en segundos.
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| == Tensión de la cuerda ==
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| Necesitamos la velocidad de propagación de la onda
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| <center>
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| <math>
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| c = \dfrac{\omega}{k} = 131\,\mathrm{m/s}
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| </math>
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| </center>
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| La tensión en la cuerda es
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| <center>
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| <math>
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| F_T = \mu c^2 = 17.2\,\mathrm{N}.
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]
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| [[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]
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