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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[Imagen:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_enunciado.png|right|250px]]
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| Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto
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| entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante
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| elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en
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| el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se
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| encuentra en el punto <math>A</math> y se le comunica una velocidad vertical de módulo
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| <math>v_0</math>.
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| #Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
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| #Calcula el momento cinético de la partícula cuando <math>\theta=\pi/4</math>.
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| #¿Cuál es el valor mínimo de <math>v_0</math> para que la partícula llegue hasta el punto <math>B</math>?
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| '''Nota:''' La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión <math>U_k=kl^2/2</math>, siendo <math>l</math> su longitud.
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| = Solución =
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| == Análisis previo ==
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| Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza
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| vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque
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| no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo
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| de su movimiento.
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| == Expresión de la energía mecánica ==
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| La energía cinética es
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| <center>
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| <math>
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| T = \dfrac{1}{2}mv^2,
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| </math>
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| </center>
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| donde <math>v</math> es la rapidez de la partícula.
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| La energía potencial gravitatoria puede escribirse
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| <center>
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| <math>
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| U_g = mgy = mgR\,\mathrm{sen}\theta.
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| </math>
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| </center>
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| Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura <math>y=0</math>.
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| La energía potencial elástica es
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| <center>
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| <math>
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| U_k = \dfrac{1}{2}kl^2 = \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.
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| </math>
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| </center>
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| La energía mecánica es
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| <center>
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| <math>
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| E = T + U_g + U_k = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta + \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.
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| </math>
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| </center>
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| En el instante inicial tenemos <math>v=v_0</math> y <math>\theta=0</math>. Entonces
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| <center>
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| <math>
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| E(0) = \dfrac{1}{2}mv_0^2
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| </math>
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| </center>
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| Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple
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| <center>
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| <math>
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| \dfrac{1}{2}mv_0^2
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| =
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| \dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta + \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.
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| </math>
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| </center>
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| == Momento cinético ==
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| [[Imagen:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_LO.png|right|250px]]
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| El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v})
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| </math>
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| </center>
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| Cuando <math>\theta=\pi/4</math> tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{OP} = R\cos(\pi/4)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath} =
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| \dfrac{R}{\sqrt{2}}\,\left(\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right)
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| </math>
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| </center>
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| Para el módulo de la velocidad en este instante, <math>v_1</math>, tenemos, de la conservación de energía mecánica
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| <center>
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| <math>
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| \dfrac{1}{2}mv_0^2
| |
| =
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| \dfrac{1}{2}mv_1^2 + \dfrac{mgR}{\sqrt{2}} + \dfrac{\pi^2}{32}kR^2.
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| </math>
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| </center>
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| Por tanto
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| <center>
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| <math>
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| v_1 = \sqrt{v_0^2 - \sqrt{2}gR - \dfrac{\pi^2}{16}kR^2}
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| </math>
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| </center>
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| Del dibujo vemos que el vector velocidad es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}_1 = v_1 (-\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\imath} + \cos(\pi/4)\,\vec{\jmath}
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| =
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| \dfrac{v_1}{\sqrt{2}}\,\left(-\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right).
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| </math>
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| </center>
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| Aquí, <math>v_1</math> viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.
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| El momento cinético pedido es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v}_1) = mRv_1\,\vec{k}.
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| </math>
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| </center>
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| == Velocidad mínima ==
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| Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando
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| <math>\theta=\pi/2</math> se cumple
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| <center>
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| <math>
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| \dfrac{1}{2}mv_0^2
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| =
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| \dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgR+ \dfrac{\pi^2}{8}kR^2.
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| </math>
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| </center>
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| La rapidez en el punto <math>B</math> es
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| <center>
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| <math>
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| v_B = \sqrt{v_0^2 - mgR - \dfrac{\pi^2}{8}kR^2}
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| </math>
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| </center>
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| Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es
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| <center>
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| <math>
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| v_0\geq
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| \sqrt{mgR + \dfrac{\pi^2}{8}kR^2}
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]]
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| [[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]
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