Revisión actual - 14:28 31 oct 2023

Enunciado

Una partícula de masa $m$ está engarzada en un aro de radio $R$ . El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto $A$ . En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto $A$ y se le comunica una velocidad vertical de módulo $v_{0}$ .

Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
Calcula el momento cinético de la partícula cuando $\theta =\pi /4$ .
¿Cuál es el valor mínimo de $v_{0}$ para que la partícula llegue hasta el punto $B$ ?

Nota: La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión $U_{k}=kl^{2}/2$ , siendo $l$ su longitud.

Solución

Análisis previo

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo de su movimiento.

Expresión de la energía mecánica

La energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}mv^{2},$

donde $v$ es la rapidez de la partícula.

La energía potencial gravitatoria puede escribirse

$U_{g}=mgy=mgR\,\mathrm {sen} \theta .$

Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura $y=0$ .

La energía potencial elástica es

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}kl^{2}={\dfrac {1}{2}}kR^{2}\theta ^{2}.$

La energía mecánica es

$E=T+U_{g}+U_{k}={\dfrac {1}{2}}mv^{2}+mgR\,\mathrm {sen} \theta +{\dfrac {1}{2}}kR^{2}\theta ^{2}.$

En el instante inicial tenemos $v=v_{0}$ y $\theta =0$ . Entonces

$E(0)={\dfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}$

Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple

${\dfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}mv^{2}+mgR\,\mathrm {sen} \theta +{\dfrac {1}{2}}kR^{2}\theta ^{2}.$

Momento cinético

El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times (m{\vec {v}})$

Cuando $\theta =\pi /4$ tenemos

${\overrightarrow {OP}}=R\cos(\pi /4)\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}={\dfrac {R}{\sqrt {2}}}\,\left({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right)$

Para el módulo de la velocidad en este instante, $v_{1}$ , tenemos, de la conservación de energía mecánica

${\dfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}+{\dfrac {mgR}{\sqrt {2}}}+{\dfrac {\pi ^{2}}{32}}kR^{2}.$

Por tanto

$v_{1}={\sqrt {v_{0}^{2}-{\sqrt {2}}gR-{\dfrac {\pi ^{2}}{16}}kR^{2}}}$

Del dibujo vemos que el vector velocidad es

${\vec {v}}_{1}=v_{1}(-\,\mathrm {sen} \,(\pi /4)\,{\vec {\imath }}+\cos(\pi /4)\,{\vec {\jmath }}={\dfrac {v_{1}}{\sqrt {2}}}\,\left(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right).$

Aquí, $v_{1}$ viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.

El momento cinético pedido es

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times (m{\vec {v}}_{1})=mRv_{1}\,{\vec {k}}.$

Velocidad mínima

Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando $\theta =\pi /2$ se cumple

${\dfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}mv_{B}^{2}+mgR+{\dfrac {\pi ^{2}}{8}}kR^{2}.$

La rapidez en el punto $B$ es

$v_{B}={\sqrt {v_{0}^{2}-mgR-{\dfrac {\pi ^{2}}{8}}kR^{2}}}$

Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es

$v_{0}\geq {\sqrt {mgR+{\dfrac {\pi ^{2}}{8}}kR^{2}}}$

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Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante (GIA)

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@@ Línea 1: / Línea 1: @@
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+[[Imagen:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_enunciado.png|right|250px]]
+Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto
+entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante
+elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en
+el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se
+encuentra en el punto <math>A</math> y se le comunica una velocidad vertical de módulo
+<math>v_0</math>.
+#Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
+#Calcula el momento cinético de la partícula cuando <math>\theta=\pi/4</math>.
+#¿Cuál es el valor mínimo de <math>v_0</math> para que la partícula llegue hasta el punto <math>B</math>?
+'''Nota:''' La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión <math>U_k=kl^2/2</math>, siendo <math>l</math> su longitud.
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+Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza
+vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque
+no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo
+de su movimiento.
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+donde <math>v</math> es la rapidez de la partícula.
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+Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura <math>y=0</math>.
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+La energía mecánica es
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+E = T + U_g + U_k = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta +  \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.
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+En el instante inicial tenemos <math>v=v_0</math> y <math>\theta=0</math>. Entonces
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+Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple
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+El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es
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+Cuando <math>\theta=\pi/4</math> tenemos
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+Para el módulo de la velocidad en este instante, <math>v_1</math>, tenemos, de la conservación de energía mecánica
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+<math>
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+=
+\dfrac{1}{2}mv_1^2 + \dfrac{mgR}{\sqrt{2}} +  \dfrac{\pi^2}{32}kR^2.
+</math>
+</center>
+Por tanto
+<center>
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+</center>
+Aquí, <math>v_1</math> viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.
+El momento cinético pedido es
+<center>
+<math>
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+== Velocidad mínima ==
+Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando
+<math>\theta=\pi/2</math> se cumple
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+La rapidez en el punto <math>B</math> es
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+Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es
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