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= Enunciado = | |||
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Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto | |||
entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante | |||
elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en | |||
el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se | |||
encuentra en el punto <math>A</math> y se le comunica una velocidad vertical de módulo | |||
<math>v_0</math>. | |||
#Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante. | |||
#Calcula el momento cinético de la partícula cuando <math>\theta=\pi/4</math>. | |||
#¿Cuál es el valor mínimo de <math>v_0</math> para que la partícula llegue hasta el punto <math>B</math>? | |||
'''Nota:''' La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión <math>U_k=kl^2/2</math>, siendo <math>l</math> su longitud. | |||
= Solución = | |||
== Análisis previo == | |||
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza | |||
vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque | |||
no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo | |||
de su movimiento. | |||
== Expresión de la energía mecánica == | |||
La energía cinética es | |||
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<math> | |||
T = \dfrac{1}{2}mv^2, | |||
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donde <math>v</math> es la rapidez de la partícula. | |||
La energía potencial gravitatoria puede escribirse | |||
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<math> | |||
U_g = mgy = mgR\,\mathrm{sen}\theta. | |||
</math> | |||
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Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura <math>y=0</math>. | |||
La energía potencial elástica es | |||
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U_k = \dfrac{1}{2}kl^2 = \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2. | |||
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La energía mecánica es | |||
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E = T + U_g + U_k = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta + \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2. | |||
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En el instante inicial tenemos <math>v=v_0</math> y <math>\theta=0</math>. Entonces | |||
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E(0) = \dfrac{1}{2}mv_0^2 | |||
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Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple | |||
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\dfrac{1}{2}mv_0^2 | |||
= | |||
\dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta + \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2. | |||
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</center> | |||
== Momento cinético == | |||
[[Imagen:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_LO.png|right|250px]] | |||
El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es | |||
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\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v}) | |||
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Cuando <math>\theta=\pi/4</math> tenemos | |||
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\overrightarrow{OP} = R\cos(\pi/4)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath} = | |||
\dfrac{R}{\sqrt{2}}\,\left(\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right) | |||
</math> | |||
</center> | |||
Para el módulo de la velocidad en este instante, <math>v_1</math>, tenemos, de la conservación de energía mecánica | |||
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<math> | |||
\dfrac{1}{2}mv_0^2 | |||
= | |||
\dfrac{1}{2}mv_1^2 + \dfrac{mgR}{\sqrt{2}} + \dfrac{\pi^2}{32}kR^2. | |||
</math> | |||
</center> | |||
Por tanto | |||
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<math> | |||
v_1 = \sqrt{v_0^2 - \sqrt{2}gR - \dfrac{\pi^2}{16}kR^2} | |||
</math> | |||
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Del dibujo vemos que el vector velocidad es | |||
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\vec{v}_1 = v_1 (-\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\imath} + \cos(\pi/4)\,\vec{\jmath} | |||
= | |||
\dfrac{v_1}{\sqrt{2}}\,\left(-\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right). | |||
</math> | |||
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Aquí, <math>v_1</math> viene dado por la expresión que hemos obtenido antes. | |||
El momento cinético pedido es | |||
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\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v}_1) = mRv_1\,\vec{k}. | |||
</math> | |||
</center> | |||
== Velocidad mínima == | |||
Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando | |||
<math>\theta=\pi/2</math> se cumple | |||
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\dfrac{1}{2}mv_0^2 | |||
= | |||
\dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgR+ \dfrac{\pi^2}{8}kR^2. | |||
</math> | |||
</center> | |||
La rapidez en el punto <math>B</math> es | |||
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v_B = \sqrt{v_0^2 - mgR - \dfrac{\pi^2}{8}kR^2} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es | |||
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v_0\geq | |||
\sqrt{mgR + \dfrac{\pi^2}{8}kR^2} | |||
</math> | |||
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[[Categoría:Problemas de Dinámica de la partícula]] | |||
[[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]] | |||
[[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]] | |||
[[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]] |
Revisión actual - 14:28 31 oct 2023
Enunciado
Una partícula de masa está engarzada en un aro de radio . El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto . En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto y se le comunica una velocidad vertical de módulo .
- Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
- Calcula el momento cinético de la partícula cuando .
- ¿Cuál es el valor mínimo de para que la partícula llegue hasta el punto ?
Nota: La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión , siendo su longitud.
Solución
Análisis previo
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo de su movimiento.
Expresión de la energía mecánica
La energía cinética es
donde es la rapidez de la partícula.
La energía potencial gravitatoria puede escribirse
Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura .
La energía potencial elástica es
La energía mecánica es
En el instante inicial tenemos y . Entonces
Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple
Momento cinético
El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es
Cuando tenemos
Para el módulo de la velocidad en este instante, , tenemos, de la conservación de energía mecánica
Por tanto
Del dibujo vemos que el vector velocidad es
Aquí, viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.
El momento cinético pedido es
Velocidad mínima
Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando se cumple
La rapidez en el punto es
Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es
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