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| = Enunciado =
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| [[Archivo:F1GIERM-particulaElipse-Enunciado.png|right]]
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| Una partícula de masa <math>m=20.0\,\mathrm{kg}</math> recorre una trayectoria elíptica en el plano <math>XY</math>. La ecuación de
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| la elipse es <math>(x/2d)^2 + (y/d)^2=1</math>, con <math>d=2.00\,\mathrm{m}</math>. En el instante inicial la partícula se
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| encontraba en el punto <math>A</math> con velocidad <math>\vec{v}_A=v_0\,\vec{\jmath}</math>, siendo <math>v_0=3.00\,\mathrm{cm/s}</math>. Durante
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| su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen <math>O</math>.
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| #Calcula el momento angular de la partícula respecto al origen.
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| #Calcula la velocidad de la partícula cuando está en el punto <math>B</math>.
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| #Calcula la velocidad areolar de la partícula.
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| = Solución =
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| == Momento angular respecto al origen ==
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| La única fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el origen. Por tanto es una fuerza central, y se conserva el momento angular de la partícula respecto al origen
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| <center>
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| <math>
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| \dot{\vec{L}}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{f} = \vec{0}
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| \Longrightarrow
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| \vec{L}_O = \vec{\mathrm{cte}} = \vec{L}_O(t=0).
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| </math>
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| </center>
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| Entonces basta con calcular el momento angular en el instante inicial. Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{L}_O(t=0) = \overrightarrow{OA}\times(m\vec{v}_0) = (2d\,\vec{\imath})\times(mv_0\,\vec{\jmath})
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| =2mv_0d\,\vec{k} = 2.40 \,\mathrm{kg\,m^2/s}.
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| </math>
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| </center>
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| == Velocidad de la partícula en <math>B</math> ==
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| El momento angular de la partícula cuando está en el punto <math>B</math> es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{L}_O (B) = \overrightarrow{OB}\times(m\vec{v}_B) = (d\,\vec{\jmath})\times(-mv_B\,\vec{\imath})
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| =mv_Bd\,\vec{k}.
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| </math>
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| </center>
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| Como el momento angular se conserva durante todo el movimiento tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{L}_O (B)= \vec{L}_O(t=0)
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| \Longrightarrow
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| mv_Bd = 2mv_0d
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| \Longrightarrow
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| v_B = 2v_0 = 6.00\,\mathrm{cm/s}.
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| </math>
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| </center>
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| Y el vector velocidad en <math>B</math> es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}_B = -6.00\,\vec{\imath} \, (\mathrm{cm/s}).
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| </math>
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| </center>
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| == Velocidad areolar ==
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| Hemos visto en teoría que la velocidad areolar está relacionada con el módulo del momento angular. Podemos derivar esta relación de nuevo. En un intervalo de tiempo <math>\mathrm{d}t</math> la partícula realiza un desplazamiento <math>\mathrm{d}\vec{r}</math>. El área del triángulo formado por <math>\vec{r}</math> y <math>\mathrm{d}\vec{r}</math> es
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| <center>
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| <math>
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| \mathrm{d}A = \left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{r}\right|.
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| </math>
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| </center>
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| Entonces la velocidad areolar es
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| <center>
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| <math>
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| v_{ar} = \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}
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| =
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| \left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|
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| =
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| \left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}\right|
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| =
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| \dfrac{1}{2m}\left|\vec{r}\times(m\vec{v})\right|
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| =
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| \dfrac{|\vec{L}_O|}{2m}.
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| </math>
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| </center>
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| Sustituyendo los valores numéricos tenemos
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| <center>
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| <math>
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| v_{ar} = 0.0600\,\mathrm{m^2/s} = 600\,\mathrm{cm^2/s}.
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| </math>
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| </center>
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| == Errores comunes detectados en la corrección ==
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| #No se puede escribir el vector de posición de una partícula que recorre una elipse de la forma
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{OP} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]]
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| [[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]]
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| [[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]
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