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Campo magnético en el eje de una bobina cilíndrica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Solución)
Línea 14: Línea 14:
siendo <math>z_i</math> la altura a la que se encuentra la espira i. Esta expresión, aunque calcuable numéricamente sin dificultad (en una bobina normal, pueden ser 200 o 300 términos, lo que para un ordenador no es problema alguno), no es muy práctica si lo que nos interesa es operar con ella, derivando o integrando.
siendo <math>z_i</math> la altura a la que se encuentra la espira i. Esta expresión, aunque calcuable numéricamente sin dificultad (en una bobina normal, pueden ser 200 o 300 términos, lo que para un ordenador no es problema alguno), no es muy práctica si lo que nos interesa es operar con ella, derivando o integrando.
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Por ello, hacemos una aproximación adicional. En lugar de suponer N espiras separadas consideramos una superficie cilíndrica de radio b y altura h por la que circula la corriente. Esto nos permite transformar el sumatorio en una integral. Dividimos este cilindro en anillos de espesor <math>\mathrm{d}z'</math>. La cantidad de corriente que circula por cada anillo es proporcional a su espesor
Por ello, hacemos una aproximación adicional. En lugar de suponer N espiras separadas consideramos una superficie cilíndrica de radio b y altura h por la que circula la corriente. Esto nos permite transformar el sumatorio en una integral. Dividimos este cilindro en anillos de espesor <math>\mathrm{d}z'</math>. La cantidad de corriente que circula por cada anillo es proporcional a su espesor

Revisión de 11:19 14 may 2022

1 Enunciado

A partir del resultado del problema “Campo magnético en el eje de una espira circular”, calcule el campo magnético debido a una bobina de longitud h y radio b con N espiras. ¿A qué tiende el resultado cuando h\gg b?

2 Solución

Una bobina es un hilo conductor arrollado formando una hélice. El cálculo del campo producido por este hilo se podría calcular mediante la ley de Biot y Savart. Sin embargo, la complejidad del cálculo resultante requiere hacer aproximaciones.

Una primera aproximación consiste en suponer que en lugar de una hélice, la bobina se compone de N espiras circulares apiladas. Cada espira está separada de la siguiente una distancia d = h / N. Definimos la densidad de espiras de la bobina como el número de espiras por unidad de longitud

n=\frac{N}{h}=\frac{1}{d}

Al descomponerlo en N espiras circulares podemos aplicar el principio de superposición y hallar el campo en el eje como la suma del campo debido a cada una

\vec{B}=\frac{\mu_0I_0b^2}{2}\sum_{i=1}^N\frac{1}{(b^2+(z-z_i)^2)^{3/2}}

siendo zi la altura a la que se encuentra la espira i. Esta expresión, aunque calcuable numéricamente sin dificultad (en una bobina normal, pueden ser 200 o 300 términos, lo que para un ordenador no es problema alguno), no es muy práctica si lo que nos interesa es operar con ella, derivando o integrando.

      

Por ello, hacemos una aproximación adicional. En lugar de suponer N espiras separadas consideramos una superficie cilíndrica de radio b y altura h por la que circula la corriente. Esto nos permite transformar el sumatorio en una integral. Dividimos este cilindro en anillos de espesor dz'. La cantidad de corriente que circula por cada anillo es proporcional a su espesor

\mathrm{d}I=NI_0\,\frac{\mathrm{d}z'}{h}=nI_0\,\mathrm{d}z'

Esto convierte el sumatorio en la integral

\vec{B}=\frac{\mu_0nI_0b^2}{2}\int_{-h/2}^{h/2}\frac{\mathrm{d}z'}{(b^2+(z-z')^2)^{3/2}}

Esta integral, como otras del mismo tipo, se resuelve con el cambio de variable

\frac{z'-z}{b}=\mathrm{tg}(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}z'=\frac{b\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}\qquad\qquad \frac{1}{\sqrt{b^2+(z-z')^2}}=\frac{\cos(\alpha)}{b}

que convierte la integral en

\vec{B}=\frac{\mu_0nI_0}{2}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha=\frac{\mu_0nI_0}{2}\left(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1)\right)

siendo α1 y α2 los ángulos con los que se ven, desde el punto de observación, los extremos de la bobina. Los senos se pueden poner en función de las dimensiones de la bobina como

\mathrm{sen}(\alpha_2)=\frac{\dfrac{h}{2}-z}{\sqrt{b^2+\left(\dfrac{h}{2}-z\right)^2}}=\frac{h-2z}{\sqrt{4b^2+(h-2z)^2}}
\mathrm{sen}(\alpha_1)=\frac{-\dfrac{h}{2}-z}{\sqrt{b^2+\left(-\dfrac{h}{2}-z\right)^2}}=-\frac{h+2z}{\sqrt{4b^2+(h+2z)^2}}

Este campo magnético presenta, como función de z, una gráfica en forma de meseta. Es prácticamente constante en el interior de la bobina y decae rápidamente al salir de ella.

En el caso particular de una bobina larga (h\gg b) podemos aproximar los senos por &pm;1 y queda la expresión simple

\vec{B}\simeq \mu_0 nI\vec{k}

Es ésta la expresión que más habitualmente se usa para dar el campo de una bobina.

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