Cinemática del movimiento relativo (CMR)

Pares cinemáticos

El movimiento de un sólido respecto a otro puede estar limitado por la presencia de vínculos o ligaduras. Por ejemplo, en una articulación como la de la biela y la manivela, el punto de la articulación pertenece permanentemente a ambos sólidos, lo que reduce el número de grados de libertad y limita el espectro de movimientos posibles.

Cuando tenemos dos sólidos vinculados se dice que tenemos un par cinemático. Si lo que tenemos es una sucesión de sólidos vinculados, por ejemplo en un brazo robótico con varias articulaciones, se dice que tenemos una cadena de sólidos.

Los dos sólidos que forman un par cinemático pueden considerarse como sólidos independientes, modelando el vínculo por una ecuación que limita los valores posibles de las velocidades y aceleraciones de los puntos de contacto o del sólido completo.

La existencia de pares cinemáticos conocidos aconseja reducir el movimiento relativo {21} en el punto donde se encuentra el vínculo. De esta forma puede eliminarse componentes de la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{O}$ o de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}$, simplificando las expresiones y permitiendo la identificación del movimiento relativo, mediante su reducción canónica.

Par cilíndrico (corredera cilíndrica)

El sólido 2 está obligado a girar en torno a un cierto eje, sobre el cual puede haber una cierta velocidad de deslizamiento. Si hacemos que este eje sea OZ y A un punto del eje se verifica

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}$    ${\vec {v}}_{21}^{A}=v_{d}{\vec {k}}$

En principio las dos magnitudes poseen valores independientes y arbitrarios (dos grados de libertad relativa). El movimiento {21} es un movimiento helicoidal con EIRMD el que apunta en la dirección fijada por el vínculo. Ocasionalmente, puede resultar una rotación pura, cuando $v_{d}=0$.

Par helicoidal (tornillo)

Como en el anterior, el sólido 2 gira en torno a un eje dado, sobre el cual se desliza, pero la velocidad de deslizamiento no es arbitraria, sino que está condicionada por el paso de rosca, $b$, que es la distancia que avanza cuando gira una vuelta completa. Sólo existe pues un grado de libertad relativo. Esto se modela como

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}$    ${\vec {v}}_{21}^{A}={\frac {\omega _{21}b}{2\pi }}{\vec {k}}$

De nuevo el movimiento relativo es uno helicoidal, con EIRMD el del tornillo. En este caso, al existir una relación entre ambas velocidades, el movimiento no puede reducirse a una rotación.

Par de revolución (bisagra)

De nuevo el eje de giro está fijado, pero ahora la velocidad de deslizamiento es nula.

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}{\vec {k}}$    ${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$

Es un caso particular del par helicoidal, haciendo $b=0$. Hay un grado de libertad relativa. Este par cinemático es el que se aplica a una rueda respecto a un eje en el que está ensartada. El movimiento relativo {21} es una rotación pura con EIR el fijado por el vínculo.

Par prismático (corredera rectangular)

El sólido 2 puede deslizarse a lo largo de un cierto eje, pero no puede girar en torno a él (un único grado de libertad relativa)

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}$    ${\vec {v}}_{21}^{A}=v_{d}{\vec {k}}$

El movimiento relativo en este caso es una traslación, siendo la velocidad de todos los puntos en la dirección fijada por el vínculo.

Par esférico (rótula o articulación)

El punto A (centro de la rótula) es un punto fijo en el movimiento relativo de los dos sólidos. El sólido 2 puede girar libremente (pero no trasladarse) respecto al 1. Por ello

${\vec {\omega }}_{21}\neq {\vec {0}}$    ${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$

El movimiento relativo del sólido 2 respecto al 1 es siempre una rotación pura en torno a un eje que pasa por A. Existen tres grados de libertad relativa rotacionales.

Par plano

El punto A solo puede deslizar sobre la superficie del sólido 1, y el sólido puede girar en torno al eje perpendicular a la superficie de contacto.

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}$    ${\vec {v}}_{21}^{A}\neq {\vec {0}}$

El movimiento relativo del sólido 2 respecto al 1 es un movimiento plano, con tres grados de libertad.

Par rígido (empotramiento, voladizo o cantilever)

Los dos sólidos forman en realidad uno solo, ya que en el punto de contacto la unión es rígida

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}$    ${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$

El sólido 2 se encuentra en reposo respecto al 1 (cero grados de libertad relativa).

Resumen

Combinaciones de pares. Junta cardán

Estos pares pueden combinarse entre sí, aumentando (o reduciendo en su caso) el número de grados de libertad relativos. Así, por ejemplo, una junta cardán o junta universal combina dos pares de revolución, permitiendo orientaciones arbitrarias del sólido 2 respecto al 1. Por ello, es común en todo tipo de brazos articulados. En este sentido se asemeja a una rótula, con la diferencia de que no permite la rotación en torno a uno de los tres ejes posibles.

El mismo principio se aplica a la suspensión cardán (gimbal en inglés, término que también se usa en castellano) en la que mediante dos ejes perpendiculares montados en anillos concéntricos (o sistemas equivalentes) es posible orientar un dispositivo, como un telescopio o un brazo robótico.

También se emplea, a la inversa, para estabilizar un sistema, como una brújula, que debe permanecer horizontal mientras su entorno (un barco) está cambiando su orientación.

    

Deslizamiento, rodadura y pivotamiento

Cuando tenemos dos sólidos en contacto, tales que un punto del sólido 2 se encuentra sobre una superficie del sólido 1 (por ejemplo, una pelota sobre una mesa), es posible que el punto de contacto esté en reposo relativo (como en el par esférico instantáneo o el de revolución instantáneo), o que no lo esté. Cuando el punto de contacto posee una cierta velocidad se dice que existe deslizamiento entre los sólidos. Se define la velocidad de deslizamiento entre los sólidos como la del punto de contacto, ${\vec {v}}_{21}^{A}$

Esta velocidad será necesariamente tangente a la superficie y por tanto ortogonal a ${\vec {n}}$, el vector normal a la superficie.

${\vec {v}}_{21}^{A}\cdot {\vec {n}}=0$

Por otra parte, la velocidad angular puede tener una parte en la dirección perpendicular a la superficie, esto es, el sólido 2 posee un giro en torno a un eje perpendicular a la superficie Y paralelo, por tanto, al vector ${\vec {n}}$). Cuando esto ocurre se dice que el sólido 2 pivota sobre el uno y esta componente de la velocidad angular se denomina velocidad angular de pivotamiento.

${\vec {\omega }}_{p}={\vec {\omega }}_{\parallel }=({\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}$

Además de la posible parte perpendicular a la superficie, la velocidad angular posee una parte tangente a la superficie (y perpendicular a ${\vec {n}}$, por tanto), de forma que el sólido 2 posee una componente de giro a en torno a un eje paralelo a la superficie. Se dice entonces que tenemos rodadura en el punto de contacto, siendo la velocidad angular de rodadura

${\vec {\omega }}_{r}={\vec {\omega }}_{\perp }={\vec {n}}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {n}})$

En un movimiento general tendremos las tres componentes: rodadura, deslizamiento y pivotamiento, siendo la velocidad de cualquier punto del sólido 2

${\vec {v}}_{21}^{P}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AP}}$

No obstante, en muchas ocasiones algunas de estas componentes son nulas. Así, tenemos los casos:

Rodar y pivotar sin deslizar

La velocidad de deslizamiento es nula

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {0}}$

El movimiento instantáneo del sólido 2 es una rotación pura en torno a un cierto eje que pasa por el punto de contacto. Este es el movimiento que describe habitualmente, por ejemplo, una bola que se mueve sobre una superficie horizontal con rozamiento.

Rodar sin deslizar

Si no se indica que existe pivotamiento, se supone que este es nulo, en este caso, la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}$ es tangente a la superficie del sólido 1. El movimiento relativo es una rotación pura alrededor de un eje tangente a la superficie de 1. Este es el movimiento de un disco que rueda sobre un plano. Así, respecto al suelo, una rueda de un coche no rueda en torno a su eje, sino en torno a un eje que pasa por el punto donde toca el suelo y es tangente a este.

Deslizamiento sin rodadura

La velocidad angular es nula (se supone que tampoco hay pivotamiento) y el sólido 2 se traslada respecto al 1 con la velocidad

${\vec {v}}_{21}^{P}={\vec {v}}_{21}^{A}$

Esto ocurre, por ejemplo, cuando se arrastra un cierto sólido (una caja, por ejemplo) sobre otro.

Estas situaciones pueden venir obligadas por los pares cinemáticos. Así un par de deslizamiento implica deslizamiento sin rodadura ni pivotamiento; un par esférico, rodadura y pivotamiento sin deslizamiento; un par de revolución, rodadura sin deslizamiento ni pivotamiento; etc.

Deslizamiento	Rodadura	Pivotamiento