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Campo eléctrico inducido por un cable grueso

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Por un hilo rectilíneo cilíndrico de radio a y gran longitud circula una corriente alterna de baja frecuencia \mathbf{J}=J_0\cos(\omega t)\mathbf{u}_z.
  1. Halle el campo magnético producido por este hilo, tanto en su interior como en su exterior, suponiendo que la corriente es casi estacionaria.
  2. Halle el campo eléctrico inducido por este campo magnético tanto en el interior del cable como en su exterior, suponiendo que \mathbf{E} = E(\rho,t)\mathbf{u}_z y que en el eje del cilindro el campo eléctrico es nulo.
  3. Calcule la densidad de corriente de desplazamiento en el interior y el exterior del hilo.

2 Campo magnético debido al cable

Al tratarse de una corriente casi estacionaria, el campo magnético puede calcularse como en el caso de un cable grueso recorrido por una corriente continua. Tal como se ve en el tema de campo magnético de corrientes estacionarias, el campo que produce este cable es

\mathbf{B}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0J_0\cos(\omega t)\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & r\leq a\\ & \\ \displaystyle\frac{\mu_0J_0\cos(\omega t)a^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & r\geq a\end{cases}

3 Campo eléctrico inducido

Para hallar el campo eléctrico inducido por este campo magnético variable en el tiempo debemos usar la ley de Faraday. Podemos calcular el campo bien empleando la forma integral de la ley, bien su forma diferencial.

3.1 Forma integral

La ley de Faraday nos dice que, dada una curva cerrada fija, en un campo magnético variable en el tiempo, la fuerza electromotriz equivale a la derivada del flujo magnético cambiada de signo:


\mathcal{E}=\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\int\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

Puesto que se nos dice que el campo eléctrico inducido es longitudinal y dependiente sólo de la distancia al eje (y del tiempo), podemos aprovechar esto calculando la f.e.m. a lo largo de un contorno rectangular vertical, uno de cuyos lados coincide con el eje Z. Este rectángulo posee altura h a lo largo del eje, y anchura ρ. En este caso

\oint\mathbf{E}\cdot\mathbf{r} = \int_{0}^h\overbrace{E_z(\rho=0)}^{=0}\,\mathrm{d}z+\int_{0}^\rho \overbrace{E_\rho(z=h)}^{=0}\,\mathrm{d}\rho + \int_{h}^0E_z(\rho)\,\mathrm{d}z+\int_{\rho}^0 \overbrace{E_\rho(z=h)}^{=0}\,\mathrm{d}\rho = -E(\rho)h

Esta circulación debe ser igual a la derivada, cambiada de signo, del flujo del campo magnético a través de una superficie apoyada enla curva y orientada según la regla de la mano derecha.

Si tomamos como superficie el rectángulo delimitado por los segmentos anteriores, el vector normal es \mathbf{u}_\varphi y el flujo correspondiente tiene la expresión

\Phi_m = \int \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \int_0^h\int_0^\rho B(\rho,t)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}z = h\int_0^\rho B\,\mathrm{d}\rho

Puesto que el campo magnético tiene una expresión diferente dentro y fuera del cable, debemos distinguir dos posibilidades a la hora de hallar este flujo:

3.1.1 Puntos interiores del cable

En el interior (ρ < a) tenemos

\Phi_m = h\int_0^\rho \frac{\mu_0J_0\cos(\omega t)\rho\,\mathrm{d}\rho}{2} = \frac{\mu_0J_0\cos(\omega t)h\rho^2}{4}

Derivando respecto al tiempo, cambiando el signo e igualando a la fuerza electromotriz queda

-Eh = \frac{\mu_0\omega J_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)h\rho^2}{4}

y el campo eléctrico inducido en el interior es

\mathbf{E} = -\frac{\mu_0\omega J_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\rho^2}{4}\mathbf{u}_z

3.1.2 Puntos exteriores al cable

Para los puntos del exterior (ρ > a) debemos tener cuidado de que la superficie incluye tantos puntos interiores de integración como exteriores y por tanto el flujo se compone de dos sumandos

\Phi_m = h\left(\int_0^a \frac{\mu_0J_0\cos(\omega t)\rho\,\mathrm{d}\rho}{2} +\int_a^\rho \frac{\mu_0J_0\cos(\omega t)a^2\,\mathrm{d}\rho}{2\rho}\right)= \frac{h\mu_0J_0\cos(\omega t)a^2}{2}\left(\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{\rho}{a}\right)\right)

Derivando respecto al tiempo, cambiando el signo e igualando de nuevo a la fuerza electromotriz queda

-Eh = \frac{\mu_0\omega J_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)ha^2}{2}\left(\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{\rho}{a}\right)\right)

y el campo eléctrico inducido en el interior es

\mathbf{E} = -\frac{\mu_0\omega J_0\,\mathrm{sen}\,(\omega t)a^2}{4}\left(1+2\ln\left(\frac{\rho}{a}\right)\right)\mathbf{u}_z

Reuniendo ambos resultados nos queda el campo eléctrico

\mathbf{E}= -\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\mathbf{u}_z}{4}\cdot\begin{cases} \rho^2 & \rho \leq a  \\
a^2\left(1+2\ln(\rho/a)\right) & \rho\geq a\end{cases}

Puede verse que este campo es una función continua, como debe ser necesariamente, pues la componente tangencial del campo eléctrico es continua en cualquier superficie.

3.2 Forma diferencial

Si empleamos la ley de Faraday en forma diferencial

\nabla\times\mathbf{E}= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

obtenemos, desarrollando

\nabla\times\mathbf{E}=\frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix} \mathbf{u}_\rho & \rho\mathbf{u}_\varphi & \mathbf{u}_z \\ & & \\ \displaystyle\frac{\partial\ }{\partial \rho} & 0 & 0 \\ & & \\ 0 & 0 & E\end{matrix}\right| = -\frac{\partial E}{\partial \rho}\mathbf{u}_\varphi

Igualando esto a la derivada del campo magnético cambiada de signo nos queda

\frac{\partial E}{\partial\rho} = \frac{\partial B}{\partial t}

De nuevo debemos distinguir entre dos casos, según estemos dentro o fuera del cable.

3.2.1 Puntos del interior

Derivando el campo magnético respecto al tiempo

\frac{\partial E}{\partial \rho}=-\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)}{2}\rho

Integrando aquí respecto a ρ

E=-\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\rho^2}{4}+C

La constante de integración C la sacamos de que en ρ = 0 el campo eléctrico es nulo. Esto nos da C = 0 y

E=-\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\rho^2}{4}\mathbf{u}_z\qquad\qquad(\rho\leq a)

3.2.2 Puntos del exterior

Integrando del mismo modo obtenemos

\frac{\partial E}{\partial \rho}=-\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)a^2}{2\rho}   \Rightarrow   E = -\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)a^2}{2}\ln(\rho) + C

La constante de integración la obtenemos imponiendo que el campo eléctrico sea una función continua en la superficie del hilo (por ser puramente tangencial a ella). Sabemos cuanto vale el campo en dicha superficie por el lado de dentro (calculado en la sección anterior). Por tanto,

E(\rho=a^-)=E(\rho=a^+)\,    \Rightarrow    -\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)a^2}{4}=-\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)}{a^2}{2}\ln(a)+C

Despejando

C = -\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)a^2}{4}\left(1-2\ln(a)\right)

y sustituyendo

\mathbf{E}= -\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)a^2}{4}\left(1+2\ln(\rho/a)\right)\mathbf{u}_z\qquad\qquad(\rho\geq a)

Reuniendo ambos resultados:

\mathbf{E}= -\frac{\mu_0J_0\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\mathbf{u}_z}{4}\cdot\begin{cases} \rho^2 & \rho \leq a  \\
a^2\left(1+2\ln(\rho/a)\right) & \rho\geq a\end{cases}

4 Densidad de corriente de desplazamiento

Una vez que tenemos el campo eléctrico como función del tiempo, la densidad de corriente de desplazamiento es inmediata:

\mathbf{J}_d = \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = 
 -\frac{\varepsilon_0\mu_0J_0\omega^2\cos(\omega t)\mathbf{u}_z}{4}\cdot\begin{cases} \rho^2 & \rho \leq a  \\
a^2\left(1+2\ln(\rho/a)\right) & \rho\geq a\end{cases}

Esta densidad de corriente va en la misma dirección que la de conducción que fluye por el cable. Por ello, si quisiéramos hallar su contribución al campo magnético lo haríamos del mismo modo que se hace en el primer apartado.

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