Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):
Sean dos puntos arbitrarios <math>A\,(x_A,y_A,z_A)\,\,</math> y <math>\,B\,(x_B,y_B,z_B)\,\,</math>. Sus velocidades <math>\vec{v}_A\,\,</math> y <math>\,\vec{v}_B\,</math> se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo:
donde la superficie horizontal se encuentra en <math>y=-R</math>.
Obtendremos la velocidad angular instantánea <math>\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,</math> exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:
<center><math>
# Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco.
(1-\omega_z)\,\Delta x+(1+\omega_x)\,\Delta z & = & 0 \\
\omega_y\,\Delta x-(1+\omega_x)\,\Delta y & = & 0
[[Archivo:velocidad-puntos-disco.png|right]]
\end{array}\right.
</math></center>
;Punto B:
Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de <math>\Delta x\,</math>, <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> (ya que los puntos <math>A\,\,</math> y <math>\,B\,</math> son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de <math>\Delta x\,</math>, <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que:
Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.
Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:
Para los cuatro puntos del enunciado, el vector de posición relativo al punto O está contenido en el plano OXY y es por tanto perpendicular a la velocidad angular, con lo que la aceleración de cada uno se reduce a
[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]
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Revisión del 12:44 12 ene 2024
Enunciado
La rodadura permanente de un disco de radio sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades
donde la superficie horizontal se encuentra en .
Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco.
Suponiendo , calcule la aceleración de dichos puntos para el mismo instante.
Velocidades
Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente
Punto A
Su vector de posición relativa es
por lo que su velocidad vale
Punto B
Punto C
Punto D
Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.
Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:
Aceleraciones
La expresión general del campo de aceleraciones es
En este caso tenemos que la velocidad del punto O es constante, por lo que
Para los cuatro puntos del enunciado, el vector de posición relativo al punto O está contenido en el plano OXY y es por tanto perpendicular a la velocidad angular, con lo que la aceleración de cada uno se reduce a
En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones