Sin resumen de edición
 
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Línea 1: Línea 1:
==Enunciado==
==Enunciado==
Dado un sólido rígido con movimiento helicoidal instantáneo (MHI), se han medido las velocidades de dos puntos del mismo:
Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):
<center><math>  
<center><math>
A(0,0,0)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\vec{v}_A=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m/s}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{v}=(2-y)\,\vec{\imath}+(1+x+z)\,\vec{\jmath}-y\,\vec{k}
B(1,1,1)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, \vec{v}_B=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m/s}
</math></center>
</math></center>
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
donde <math>(x,y,z)\,</math> son las coordenadas cartesianas de cada punto del sólido.


(a) Esas velocidades no son compatibles con un MHI.
# Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
# ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?


(b) <math>A\,</math> y <math>B\,</math> pertenecen al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD).
==Verificación de la equiproyectividad==
 
Sean dos puntos arbitrarios <math>A\,(x_A,y_A,z_A)\,\,</math> y <math>\,B\,(x_B,y_B,z_B)\,\,</math>. Sus velocidades <math>\vec{v}_A\,\,</math> y <math>\,\vec{v}_B\,</math> se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo:
(c) Esas velocidades no son compatibles con la rigidez.
<center><math>
 
\vec{v}_A=(2\,-\,y_A)\,\vec{\imath}\,+\,(1\,+\,x_A\,+\,z_A)\,\vec{\jmath}\,-\,y_A\,\vec{k}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,
(d) El valor absoluto de la velocidad de deslizamiento es <math>|v_d|=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s}\,</math>.
\vec{v}_B=(2\,-\,y_B)\,\vec{\imath}\,+\,(1\,+\,x_B\,+\,z_B)\,\vec{\jmath}\,-\,y_B\,\vec{k}
 
</math></center>
'''Nota''': Sólo una de las cuatro afirmaciones es correcta.
La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:
 
==Equiproyectividad. Descartando (c)==
Lo primero que observamos al leer el enunciado es que las velocidades de los dos puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math> son iguales entre sí.
 
Y dos velocidades iguales cumplen trivialmente la condición de equiproyectividad:
<center><math>
<center><math>
\vec{v}_A=\vec{v}_B\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}
\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,(\vec{v}_B-\vec{v}_A)\cdot\overrightarrow{AB}=0
</math></center>
</math></center>
Así que la afirmación (c), que dice "Esas velocidades no son compatibles con la rigidez", es FALSA.
Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:
 
==Cálculo del segundo invariante. Descartando (a)==
Antes de seguir, cabe señalar que dos puntos con velocidades iguales son compatibles con un movimiento de traslación instantánea (campo de velocidades uniforme), pero nosotros vamos a descartar esa posibilidad porque el propio enunciado nos dice que se trata de un movimiento helicoidal instantáneo (MHI).
 
Al tratarse de un MHI, sabemos que el campo de velocidades no es uniforme (la velocidad angular es no nula). Por tanto, el hecho observado de que las velocidades de los puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math> sean iguales implica que el vector velocidad angular es paralelo al vector <math>\overrightarrow{AB}\,</math>:
<center><math>
<center><math>
\vec{v}_A=\vec{v}_B\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}\parallel\overrightarrow{AB}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}
\begin{array}{l}
\overrightarrow{AB}=\underbrace{(x_B-x_A)}_{\displaystyle=\Delta x}\,\vec{\imath}\,+\underbrace{(y_B-y_A)}_{\displaystyle=\Delta y}\,\vec{\jmath}\,+\underbrace{(z_B-z_A)}_{\displaystyle=\Delta z}\,\vec{k}=\Delta x\,\vec{\imath}\,+\Delta y\,\vec{\jmath}\,+\Delta z\,\vec{k} \\ \\
\vec{v}_B-\vec{v}_A=-\Delta y\,\,\vec{\imath}\,+(\Delta x+\Delta z)\,\vec{\jmath}\,-\Delta y\,\vec{k}
\end{array}
</math></center>
</math></center>
Así pues, llegados a este momento, si bien no conocemos el módulo ni el sentido del vector velocidad angular <math>\vec{\omega}\,</math>, sí que conocemos su dirección (por ser la misma que la del vector <math>\overrightarrow{AB}\,</math>). Y esto ya nos permite calcular (salvo signo) la velocidad de deslizamiento (segundo invariante):
En efecto, se verifica la equiproyectividad porque:
<center><math>
<center><math>
v_d=\vec{v}_A\,\cdot\,\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\vec{v}_A\,\cdot\,\frac{\left(\pm\,\overrightarrow{AB}\right)}{|\overrightarrow{AB}\,|}=\pm\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\,\cdot\,\frac{(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)}{|\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}|}=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s}
(\vec{v}_B-\vec{v}_A)\cdot\overrightarrow{AB}=-\Delta y\,\Delta x\,+(\Delta x+\Delta z)\,\Delta y\,-\Delta y\,\Delta z=0
</math></center>
</math></center>
Comprobamos, por tanto, que el segundo invariante es distinto de cero, tal como corresponde a un MHI. Esto nos permite decir que es FALSA la afirmación (a), la cual dice "Esas velocidades no son compatibles con un MHI". Si, por el contrario, hubiésemos obtenido un segundo invariante nulo, entonces la afirmación (a) habría sido correcta porque no estaríamos ante un MHI sino ante una rotación instantánea.


==Valor absoluto de la velocidad de deslizamiento. Eligiendo (d)==
==Velocidad angular==
Tomando valor absoluto del segundo invariante, se obtiene:
Obtendremos la velocidad angular instantánea <math>\vec{\omega}=\omega_x\,\vec{\imath}+\omega_y\,\vec{\jmath}+\omega_z\,\vec{k}\,</math> exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:
<center><math>
\vec{v}_B=\vec{v}_A\,+\,\,\vec{\omega}\,\,\times\,\overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{v}_B\,-\,\,\vec{v}_A=\vec{\omega}\,\,\times\,\overrightarrow{AB}
\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, -\,\Delta y\,\,\vec{\imath}\,\,+\,(\Delta x\,\,+\,\,\Delta z)\,\vec{\jmath}\,\,-\,\Delta y\,\vec{k}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ \Delta x & \Delta y & \Delta z \end{array}\right|
</math></center>
Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
<center><math>
<center><math>
|v_d|=\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s}
\left\{\begin{array}{rcl}
-\Delta y & = & \omega_y\,\Delta z-\omega_z\,\Delta y \\
\Delta x+\Delta z & = & \omega_z\,\Delta x-\omega_x\,\Delta z \\
-\Delta y & = & \omega_x\,\Delta y-\omega_y\,\Delta x
\end{array}\right.\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
\left\{\begin{array}{rcl}
(-1+\omega_z)\,\Delta y-\omega_y\,\Delta z & = & 0 \\
(1-\omega_z)\,\Delta x+(1+\omega_x)\,\Delta z & = & 0 \\
\omega_y\,\Delta x-(1+\omega_x)\,\Delta y & = & 0
\end{array}\right.
</math></center>
</math></center>
Llegamos, pues, a la conclusión de que la afirmación (d), que dice "El valor absoluto de la velocidad de deslizamiento es <math>|v_d|=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{m/s}\,</math>" es la afirmación CORRECTA que buscábamos.
Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de <math>\Delta x\,</math>, <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> (ya que los puntos <math>A\,\,</math> y <math>\,B\,</math> son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de <math>\Delta x\,</math>, <math>\Delta y\,\,</math> y <math>\,\Delta z\,</math> en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que:
 
==Los puntos A y B no están en el EIRMD. Descartando (b)==
Aun habiendo encontrado ya la afirmación correcta, para quedarnos tranquilos del todo, comprobaremos que es FALSA la afirmación (b), la cual dice "<math>A\,</math> y <math>B\,</math> pertenecen al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD)". Si fuese verdad que los puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math> perteneciesen al EIRMD, la velocidad de esos dos puntos sería paralela al vector velocidad angular y, por tanto, paralela al vector <math>\overrightarrow{AB}\,</math>. Sin embargo, comprobamos a continuación que tal paralelismo entre <math>\vec{v}_A\,</math> y <math>\overrightarrow{AB}\,</math> no existe (su producto vectorial es distinto de cero) y, por tanto, <math>A\,</math> y <math>B\,</math> no pertenecen al EIRMD:
<center><math>
<center><math>
\vec{v}_A\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0}
\left.\begin{array}{l} \omega_x=-1 \\ \omega_y=0 \\ \omega_z=1 \end{array}\right\}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}=(-\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}
</math></center>
</math></center>


[[Categoría:Problemas de Cinemática del Sólido Rígido (GITI)]]
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Revisión del 22:42 11 ene 2024

Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento respecto a un triedro cartesiano OXYZ. En cierto instante, el campo de velocidades del sólido tiene la siguiente expresión (unidades del SI):

donde son las coordenadas cartesianas de cada punto del sólido.

  1. Verifique la equiproyectividad del campo de velocidades.
  2. ¿Cuál es la velocidad angular instantánea del sólido rígido?

Verificación de la equiproyectividad

Sean dos puntos arbitrarios y . Sus velocidades y se obtienen sustituyendo sus respectivas coordenadas en la expresión del campo:

La equiproyectividad del campo de velocidades quedará verificada si se cumple la siguiente igualdad:

Comprobemos, pues, que es nulo el producto escalar de los siguientes vectores:

En efecto, se verifica la equiproyectividad porque:

Velocidad angular

Obtendremos la velocidad angular instantánea exigiendo el cumplimiento de la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido:

Calculando el determinante e igualando componente a componente, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Dado que este sistema de ecuaciones debe verificarse para todo valor de , y (ya que los puntos y son cualesquiera), es necesario que los coeficientes de , y en estas ecuaciones sean todos nulos, llegándose a la conclusión de que: