No Boletín - Cuestión sobre EIRMD II (Ex.Sep/14)

Enunciado

Un sólido rígido realiza un movimiento helicoidal instantáneo respecto a un triedro de referencia $OXYZ\,$, estando definido su campo de velocidades mediante la siguiente reducción cinemática en el origen de coordenadas $\,O\,$:

${\vec {\omega }}=(\,2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {rad} /\mathrm {s} \,\,;\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{O}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$

1. Calcule la velocidad de deslizamiento del sólido rígido (segundo invariante).
2. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento?

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(a)} \,\,\,\,P\mathrm {(1,2,0)} \,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,\,P\mathrm {(0,0,0)} \,{\mbox{m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,\,P\mathrm {(-1,1,0)} \,{\mbox{m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,\,P\mathrm {(2,1,-2)} \,{\mbox{m}}$

Velocidad de deslizamiento

La velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$ (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}}{|\,{\vec {\omega }}\,|}}={\frac {(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\cdot (\,2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}\,)}{|\,2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}\,|}}={\frac {18}{3}}=6\,\,\mathrm {m/s}$

Punto perteneciente al EIRMD. Primer método: cálculo de la velocidad del punto $P\,$

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, calculamos la velocidad $\,{\vec {v}}_{P}\,$ del punto $\,P\,$ en cada una de las opciones:

${\begin{array}{lll}\mathrm {(a)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}=(\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\1&2&0\end{array}}\right|=(6\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(b)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}={\vec {0}}\,\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\0&0&0\end{array}}\right|=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(c)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}=(\,-\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\,)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\-1&1&0\end{array}}\right|=(4\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\\mathrm {(d)} \,\,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OP}}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)+\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\2&1&-2\end{array}}\right|=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\end{array}}$

Si el punto $\,P\,$ pertenece al eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), la velocidad ${\vec {v}}_{P}\,$ de dicho punto es necesariamente paralela al vector velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre en la opción (c), la cual es por tanto la respuesta correcta:

${\begin{array}{lllll}\mathrm {(a)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{P}=(6\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\6&-2&-4\\2&1&-2\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,P\not \in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(b)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{P}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&0&-7\\2&1&-2\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,P\not \in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(c)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{P}=(4\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\4&2&-4\\2&1&-2\end{array}}\right|={\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,P\in \mathrm {EIRMD} \\\\\mathrm {(d)} \,\,\,\,\,{\vec {v}}_{P}=(\,2\,{\vec {\imath }}-7\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\times {\vec {\omega }}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&0&-7\\2&1&-2\end{array}}\right|\neq {\vec {0}}&\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{P}\not \,\parallel {\vec {\omega }}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,P\not \in \mathrm {EIRMD} \end{array}}$

Punto perteneciente al EIRMD. Segundo método: determinación del EIRMD

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática $\{{\vec {\omega }},{\vec {v}}_{O}\}\,$, es posible determinar el EIRMD del movimiento helicoidal instantáneo. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del EIRMD, obtenemos el vector de posición de un punto genérico $I\,$ del EIRMD:

${\overrightarrow {OI}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}}{|\,{\vec {\omega }}\,|^{2}}}\,+\,\lambda \,{\vec {\omega }}={\frac {1}{9}}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&1&-2\\2&0&-7\end{array}}\right|\,+\,\lambda \,(2\,{\vec {\imath }}\,\,+\,{\vec {\jmath }}\,-\,2\,{\vec {k}}\,)=\left[\,\left(-{\frac {7}{9}}\,+\,2\lambda \right){\vec {\imath }}\,+\left({\frac {10}{9}}\,+\,\lambda \right){\vec {\jmath }}\,+\left(-{\frac {2}{9}}\,-\,2\lambda \right){\vec {k}}\,\right]\,\mathrm {m}$

Por tanto, las coordenadas de un punto genérico $I\,$ del EIRMD en el triedro OXYZ de referencia son:

$I\left(-\,{\frac {7}{9}}+2\lambda \,,{\frac {10}{9}}+\lambda \,,-\,{\frac {2}{9}}-2\lambda \right)\,\mathrm {m}$

Comparando esta terna $\,\lambda -$paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos $\,P\,$ propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto $P\in \mathrm {EIRMD} \,$ es el de la opción (c). En efecto: $\,\,\,P(-1,1,0)\,\mathrm {m} \,$ es el punto del EIRMD correspondiente a $\lambda =-1/\,9\,$.