Campo de dos planos paralelos (GIOI)

Enunciado

Suponga que se tienen dos planos infinitos paralelos separados una distancia b que almacenan respectivamente densidades de carga $+\sigma _{0}$ y $-\sigma _{0}$. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Solución

Este problema puede resolverse por simple superposición de los campos de los planos individuales.

Según se ve en el problema “Campo de un plano infinito”, el campo debido a un plano cargado uniformemente situado en $z=0$ es

${\vec {E}}={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}&(z<0)\\&\\\displaystyle {\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}&(z>0)\end{cases}}$

Si este plano está en $z=-b/2$ simplemente trasladamos la coordenada y ya tenemos el campo del primer plano

${\vec {E}}_{1}={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}&(z<-b/2)\\&\\\displaystyle {\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}&(z>-b/2)\end{cases}}$

Para el segundo plano, cambiamos $b$ por $-b$ y $\sigma _{0}$ por $-\sigma _{0}$, lo que nos deja

${\vec {E}}_{2}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}&(z<b/2)\\&\\\displaystyle -{\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}&(z>b/2)\end{cases}}$

Para superponer estos campos, dividimos el espacio en tres regiones:

Por debajo del plano inferior ($z<-b/2$)

En esta zona los campos son iguales y opuestos

${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}=-{\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}+{\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}={\vec {0}}$

Entre los dos planos ($-b/2<z<b/2$)

En esta zona los campos son iguales y en el mismo sentido

${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}={\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}+{\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}$

Por encima del plano superior ($z>b/2$)

En esta zona, de nuevo, los campos son iguales y opuestos

${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}={\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}-{\frac {\sigma _{0}}{2\varepsilon _{0}}}{\vec {k}}={\vec {0}}$

Tenemos entonces que dos planos infinitos cargados uniformemente con cargas iguales y opuestas producen un campo uniforme entre los dos planos y nulo en el espacio exterior a los planos.

Nótese que no es que un plano impida que el campo del otro llegue al otro lado. Cada campo de cada plano se extiende hasta el infinito. Lo que ocurre es que el campo debido a las cargas de un plano anula el campo de las cargas del otro en el espacio exterior a los planos.