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Bloque deslizando sobre una cuña apoyada en una balanza

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un bloque de masa m1 se desliza sin rozamiento sobre una cuña de masa m2 que forma un ángulo β con la horizontal. El conjunto está sobre una balanza de muelle. El plato de la balanza permanece en reposo durante toda la experiencia.

  1. Determina la aceleración de la masa m1 al desplazarse sobre la cuña.
  2. Calcula la aceleración del cento de masas del sistema cuña-masa.
  3. ¿Cuál es la lectura en la balanza mientras cae la masa?

2 Solución

Nos dice el enunciado que el plato de la balanza no su mueve durante todo el proceso, es decir, se comporta como si fuese el suelo fijo. Para simplificar vamos a sustituir la balanza por un suelo y al final recuperaremos la balanza.

2.1 Aceleración del bloque

La imagen de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa m1, a saber, el peso y la fuerza vincular de la cuña (el contacto es liso, por lo que esta fuera es perpendicular a la cuña). La Segunda Ley de Newton aplicada al bloque da


m_1\vec{a}_1 = \vec{P}_1 + \vec{F}_{2\to1}

La aceleración debe ser paralela a la superficie de la cuña, es decir


m_1\vec{a}_1 = m_1a_1\,(\cos\beta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}).

Para las fuerzas tenemos


\begin{array}{l}
\vec{P}_1 = - m_1g\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_{2\to1} = N_2\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + N_2\cos\beta\,\vec{\jmath}.
\end{array}

La Segunda Ley nos da dos ecuaciones escalares, una por cada componente


\begin{array}{lclr}
m_1a_1\cos\beta & = & N_2\,\mathrm{sen}\,\beta, & \qquad (1)\\
&&&\\
-m_1a_1\,\mathrm{sen}\,\beta & = & -m_1g + N_2\cos\beta. & \qquad (2)
\end{array}

Multiplicando la ecuación (1) por cosβ, la ecuación (2) por -\mathrm{sen}\,\beta y sumando obtenemos


a_1 = g\,\mathrm{sen}\,\beta.

La aceleración de la masa m1 es


\vec{a}_1 = g\,\mathrm{sen}\,\beta\,(\cos\beta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}).

2.2 Aceleración del centro de masas del sistema cuña-bloque

La cuña permanece en reposo, es decir, \vec{a}_1=\vec{0}. Entonces la aceleración del centro de masas puede calcularse como


(m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = m_1\vec{a}_1 + m_2\vec{a}_2 = m_1\vec{a}_1
\Longrightarrow
\vec{a}_{CM} = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}\,\vec{a}_1
=
\dfrac{m_1g\mathrm{sen}\,\beta}{m_1+m_2}\,(\cos\beta\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}).

2.3 Lectura de la balanza

Aplicamos la Segunda Ley de Newton para sistemas al conjunto cuña+bloque.


(m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = \vec{F}_{neta}^{ext}.

Las fuerzas externas son el peso de las dos masas y la fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña. Las fuerzas entre la cuña y el bloque no aparecen pues son fuerzas internas del sistema cuña-bloque.

Hemos visto en el apartado anterior que \vec{a}_{CM} es paralela a \vec{a}_1. Como los pesos sólo tienen componente vertical, es necesario que la fuerza que ejerce el suelo tenga una componente horizontal, para dar cuenta de la componente horizontal de \vec{a}_{CM}. La figura de la derecha indica como son las fuerzas externas.

La Segunda Ley queda


(m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{F}_s.

De aquí podemos despejar la fuerza que ejerce el suelo sobre la cuña


\vec{F}_s = (m_1+m_2)\,\vec{a}_{CM} - \vec{P}_1 - \vec{P}_2 =
m_1g\,\mathrm{sen}\,\beta\cos\beta\,\vec{\imath} + (m_1\cos^2\beta+m_2)g\,\vec{\jmath}.

Si en vez del suelo es el plato de la balanza, la lectura de ésta es el módulo de la componente vertical de esta fuerza, es decir


|\vec{F}_{sy}| = (m_1\cos^2\beta+m_2)g.

Vemos que no es, en general, el peso de las dos masas. Cuando hay movimiento la normal no es igual al peso, en general. Hay dos casos límite interesantes. Si β = 0 el bloque no se mueve, la situación es estática y la lectura de la balanza debe ser el peso de las masas: (m1 + m2)g. Vemos que esto es lo que ocurre. Si β = π / 2, el bloque no se apoya sobre la cuña, por lo que la balanza no debe sentir el efecto de su masa y debe medir sólo el peso de la cuña: m2g. Vemos que esto es también lo que sucede.

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