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Base vectorial girada en el espacio (GIOI)

De Laplace

Revisión a fecha de 19:21 13 oct 2021; Antonio (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

Dados los vectores

\vec{\imath}_2=-0.60\vec{\imath}_1+0.80\vec{k}_1\qquad\qquad\vec{\jmath}_2=0.64\vec{\imath}_1-0.60\vec{\jmath}_1+0.48\vec{k}_1\qquad\qquad\vec{k}_2=0.48\vec{\imath}_1+0.80\vec{\jmath}_1+0.36\vec{k}_1
  1. Pruebe que se trata de una base ortonormal dextrógira.
  2. Exprese el vector \vec{F}=\vec{\imath}_1+2\vec{\jmath}_1+2\vec{k}_1 y el vector \vec{G}=4\vec{\imath}_1+3\vec{k}_1 en la base \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2 \}
  3. Compruebe que el módulo |\vec{F} | tiene el mismo valor en ambas bases.
  4. Compruebe que el producto escalar \vec{F}\cdot\vec{G} tiene el mismo valor calculado en ambas bases.

2 Base ortonormal dextrógira

2.1 Base ortonormal

Para ver que es una base ortonormal, calculamos los productos escalares de los vectores de la base

\begin{array}{rcl} \vec{\imath}_2\cdot\vec{\imath}_2&=&0.60^2+0.80^2 = 0.36+0.64 = 1\\ \vec{\jmath}_2\cdot\vec{\jmath}_2&=&0.64^2+0.60^2+0.48^2 =0.4096 + 0.3600+0.2304 = 1\\ \vec{k}_2\cdot\vec{k}_2&=&0.48^2+0.80^2+0.36^2 = 0.2304+0.6400+0.1296 = 1\\ \vec{\imath}_2\cdot\vec{\jmath}_2&=&-0.60\cdot 0.64+0.80\cdot 0.48 = -0.384+0.384 = 0\\ \vec{\imath}_2\cdot\vec{k}_2&=&-0.60\cdot 0.48+0.80\cdot 0.36 = -0.288+0.288=0\\ \vec{\jmath}_2\cdot\vec{k}_2&=&0.64\cdot 0.48-0.60\cdot0.80+0.48\cdot 0.36 = 0.3072-0.4800+0.1728 = 0 \end{array}

2.2 Base dextrógira

Para ver que la base es dextrógira basta con probar que

\vec{\imath}_2=\vec{\jmath}_2 = \vec{k}_2

Calculamos el producto vectorial

\vec{\imath}_2\times\vec{\jmath}_2=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1&\vec{\jmath}_1&\vec{k}_1 \\ -0.60 & 0 & 0.80 \\ 0.64&-0.60&0.48\end{matrix}\right|=0.48\vec{\imath}_1+0.60\vec{\jmath}_1+0.36\vec{k}_1=\vec{k}_2

por lo que la base es ortonormal dextrógira y constituye una rotación tridimensional de la base canónica.

3 Vectores en la base “2”

3.1 Vector F

Para escribir el vector en la segunda base

\vec{F}=F_X\vec{\imath}_2+F_Y\vec{\jmath}_2+F_Z\vec{k}_2

debemos proyectar sobre cada uno de los vectores de esta base

\begin{array}{rcl} F_X&=&\vec{F}\cdot\vec{\imath}_2 = 1\cdot (-0.60)+2\cdot 0.80=1.00 \\ F_Y&=&\vec{F}\cdot\vec{\jmath}_2 = 1\cdot 0.64+2\cdot(-0.60)+2\cdot 0.48 =0.40 \\ F_Y&=&\vec{F}\cdot\vec{\jmath}_2 = 1\cdot 0.48+2\cdot 0.80+2\cdot 0.36 =2.80 \end{array}

Por tanto, este vector se expresa en esta base como

\vec{F}=1.00 \vec{\imath}_2+0.40\vec{\jmath}_2+2.80\vec{k}_2=\frac{5\vec{\imath}_2+2\vec{\jmath}_2+14\vec{k}_2}{5}

Este conjunto de tres productos escalares puede calcularse también mediante la forma matricial

\begin{pmatrix} -0.60 & 0 & 0.80 \\ 0.64 & -0.60 & 0.48 \\ 0.48 & 0.80 & 0.36\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1.00 \\0.40 \\ 2.80\end{pmatrix}

3.2 Vector G

Operando análogamente con el vector G

\begin{array}{rcl} G_X&=&\vec{G}\cdot\vec{\imath}_2 = 4\cdot (-0.60)+3\cdot 0.80=-2.40+2.40=0 \\ G_Y&=&\vec{G}\cdot\vec{\jmath}_2 = 4\cdot 0.64+3\cdot 0.48 =2.56+1.44=4 \\ G_Y&=&\vec{G}\cdot\vec{\jmath}_2 = 4\cdot 0.48+3\cdot 0.36 =1.92+1.08=3 \end{array}

o, en forma matricial

\begin{pmatrix} -0.60 & 0 & 0.80 \\ 0.64 & -0.60 & 0.48 \\ 0.48 & 0.80 & 0.36\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\0 \\ 3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\4 \\ 3\end{pmatrix}

Por tanto, este vector se expresa en esta base como

\vec{G}=4\vec{\jmath}_2+3\vec{k}_2

4 Módulo de F

Si calculamos el módulo de \vec{F} en la primera base

|\vec{F}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9}=3

y si lo hacemos en la segunda

|\vec{F}|=\sqrt{1^2+0.4^2+2.8^2} =\sqrt{1+0.16+7.84}= \sqrt{9}=3

El módulo tiene el mismo valor porque la longitud del vector es independiente de sobre qué base se proyecte.

5 Producto escalar

Si calculamos el producto escalar en la base 1 queda

\vec{F}\cdot\vec{G}=1\cdot 4+2\cdot 3=10

y en la segunda

\vec{F}\cdot\vec{G}=4\cdot 0.4+3\cdot 2.8=1.6+8.4=10

De nuevo se obtiene el mismo resultado en ambas bases porque tanto las longitudes de los vectores como los ángulos que forman son independientes de la base.

Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Base_vectorial_girada_en_el_espacio_(GIOI)"

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