Enunciado

Una partícula describe una espiral logarítmica a partir de de manera que, en el SI y empleando coordenadas polares,

  1. Halle la velocidad en cada instante.
  2. Calcule la rapidez del movimiento como función del tiempo.
  3. ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en llegar al origen de coordenadas? ¿Cuántas vueltas alrededor del origen da en ese tiempo?
  4. Halle la aceleración para cada instante, así como sus componentes intrínsecas
  5. Calcule los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada punto de ésta, en función de la base
  6. Calcule el radio de curvatura como función del tiempo.

Velocidad instantánea

La fórmula para la velocidad en coordenadas polares viene dada por

siendo en este caso

lo que nos da la velocidad

pero

así que queda simplemente

Hay que señalar que esta velocidad depende del tiempo. Aunque las componentes son constantes, los vectores de la base son dependientes del tiempo, ya que van girando con la partícula en su movimiento.

Rapidez instantánea

Una vez que tenemos la velocidad instantánea, calculamos la rapidez hallando su módulo.

El movimiento es con rapidez constante y por tanto uniforme.

Tiempo de impacto

El tiempo en llegar al origen de coordenadas es aquel que hace . Esto ocurre para

El número de vueltas lo obtenemos calculando la variación en la coordenada . Cuando este ángulo varía en quiere decir que se ha dado una vuelta. Si varía en son dos vueltas y así sucesivamente. El número de vueltas total será

Pero

Por tanto

Es decir, aunque tarda un tiempo finito en llegar al centro, da infinitas vueltas antes de hacerlo. La razón es que estas vueltas son cada vez más pequeñas y requieren menos tiempo.

Aceleración

En forma vectorial

La expresión de la aceleración en coordenadas polares es

donde, en este caso

        

    

Reuniendo todo esto nos queda

En este caso particular, no obstante, hubiera sido más fácil calcular la aceleración como la derivada de la velocidad respecto al tiempo, aprovechando que las componentes de la velocidad son constantes.

    

donde

lo que nos da la aceleración

Aceleración tangencial

Por tratarse de un movimiento uniforme, la aceleración tangencial es nula

Aceleración normal

Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal, por lo que

En forma escalar, hallamos el módulo,

Vectores tangente y normal

Vector tangente

El vector tangente a la trayectoria es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

Este vector forma un ángulo constante con la dirección radial.

Vector normal

El vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al anterior.

Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez hallamos el radio de curvatura como

El radio de curvatura disminuye linealmente con el tiempo hasta anularse cuando la partícula llega al centro de la espiral.