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Barras articuladas con barra fija (Nov. 2019)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una barra delgada de longitud 2\sqrt{2}b (sólido "0") está articulada en el punto fijo O. En el otro extremo de la barra (punto A) se articula otra barra (sólido "2") de longitud \sqrt{2}b. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto B) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija vertical. En todo instante la velocidad del punto B es \vec{v}_0=
v_0\,\vec{\jmath}_1, con v0 > 0 y constante. En el instante indicado en la figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo π / 4 con la barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.

  1. Determina el vector de posición del punto B es
  2. Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
  3. Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
  4. Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.

2 Solución

2.1 Vector de posición del punto B

Podemos construir el vector pedido como


\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.

De la figura, y teniendo en cuenta que los ángulos son π / 4


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = 2b\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\vec{\jmath}_1,\\
\overrightarrow{AB} = -b\,\vec{\imath}_1 + b\,\vec{\jmath}_1. 
\end{array}

Por tanto


\overrightarrow{OB} = b\,\vec{\imath}_1 + 3b\,\vec{\jmath}_1.


2.2 Posiciones de los C.I.R.s

La figura de la derecha muestra la posición de los tres puntos pedidos.

El punto O de la barra "0" está siempre en el origen. Por tanto


\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0} \Longrightarrow I_{01}\equiv O.

El punto A pertenece siempre a las dos barras a la vez. Entonces


\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20}\equiv O.

El Teorema de los Tres centros nos dice que I21, I20 y I01 están en la misma recta. Por otro lado, el punto B de la barra "2" se mueve siempre sobre la barra vertical fija. Entonces \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}_0 es siempre vertical. El punto I21 debe estar en la recta perpendicular a \vec{v}_0 trazada por B. El corte de estas dos rectas nos da la posición de I21,


\overrightarrow{OI}_{21} = 3b\,\vec{\imath}_1 + 3b\,\vec{\jmath}_1.

2.3 Vectores rotación

Al ser movimientos planos tenemos


\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}_1,\qquad
\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}_1,\qquad
\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}_1.

2.3.1 Movimiento {21}

Tenemos la velocidad absoluta de dos puntos, el B y el I21. Usando el Teorema de Chasles tenemos


\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}B}
=
(\omega_{21}\,\vec{k}_1)\times(-2b\,\vec{\imath}_1) = -2b\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1 = v_0\,\vec{\jmath}_1.

Por tanto


\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{2b}\,\vec{k}_1.

2.3.2 Movimiento {01}

Podemos determinar \vec{v}^{\,A}_{01} partiendo del punto O


\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}
=
(\omega_{01}\,\vec{k}_1)\times(2b\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\vec{\jmath}_1) = 
-2b\omega_{01}\,\vec{\imath}_1 + 2b\omega_{01}\,\vec{\jmath}_1.

Por otro lado, a partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos, teniendo en cuenta que \vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0},


\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21} = 
\vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}
=
-\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1
+\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\jmath}_1.

Las dos expresiones de \vec{v}^{\,A}_{01} deben ser iguales. Por tanto


\vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{4b}\,\vec{k}_1.

2.3.3 Movimiento {20}

Por un lado tenemos


\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}.

Por otro lado, usando la composición {21} = {20} + {01}


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} 
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} =\vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} 
=
-\dfrac{3v_0}{4b}\,\vec{k}_1.

2.4 Aceleraciones angulares

De nuevo, al ser un movimiento plano tenemos


\vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}_1, \qquad
\vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}_1, \qquad
\vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}_1.

Conocemos tres aceleraciones en el problema


\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,A}_{20} = \vec{0}.

El primer valor se debe a que el enunciado nos dice que \vec{v}_0 es constante. Los otros se deducen de que esos puntos son los C.I.R.s de los movimientos respectivos.

Ahora calculamos \vec{a}^{\,A}_{21} de dos maneras diferentes, usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} a partir de B y con el Teorema de Coriolis.

A partir de B tenemos


\vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BA} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BA}
=
\left(b\alpha_{21} - \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\imath}_1
+
\left(b\alpha_{21} + \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\jmath}_1

Usando el Teorema de Coriolis en A


\vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{a}^{\,A}_{01}

Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} partiendo de O


\vec{a}^{\,A}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA} - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{OA}
=
\left(-2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\imath}_1
+
\left(2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\jmath}_1

De nuevo, las dos expresiones para \vec{a}^{\,A}_{21} deben ser iguales. Obtenemos así dos ecuaciones


\begin{array}{l}
\alpha_{21} + 2\alpha_{01} = v_0^2/8b^2,\\
\alpha_{21} - 2\alpha_{01} = -3v_0^2/8b^2.
\end{array}

Resolviendo obtenemos


\vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{8b^2}\,\vec{k}_1, \qquad \vec{\alpha}_{01} = \dfrac{v_0^2}{8b^2}.

Usamos de nuevo la composición {21} = {20} + {01}


\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\Longrightarrow
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01}
=
-\dfrac{v_0^2}{4b^2}\,\vec{k}_1.

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