Barra articulada rotando en un plano (MR G.I.C.)

Barra articulada rotando en un plano

Se tiene una barra homogénea de longitud $L$ y masa $M$. La barra tiene un extremo fijo en el punto $O$ y gira únicamente en el plano $OX_{1}Y_{1}$. La posición de la barra viene determinada por el ángulo $\theta$ que forma con el eje $OY_{1}$.

1. Encuentra la expresión del momento cinético ${\vec {L}}_{O}$ de la barra y de su energía cinética $T$.
2. Aplica el T.M.C. en $O$ para obtener una ecuación diferencial del movimiento.
3. Obtén una integral primera del movimiento. ¿Es equivalente a la ecuación anterior?

Solución

Momento cinético y energía cinética

La barra rota alrededor del punto fijo $O$. Entonces el momento angular y la energía cinética se pueden calcular usando las expresiones

${\vec {L}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }},\qquad T={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}$

El eje de rotación es paralelo al eje $OZ_{1}\equiv OZ_{2}$. Con el sentido del ángulo indicado en la figura el vector rotación es

${\vec {\omega }}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{2}$

Expresamos el tensor de inercia de la barra en el punto $O$ en la base del sólido solidario con la barra

${\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}$

con

$I={\dfrac {1}{3}}ML^{2}$

El momento angular es

${\vec {L}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}0\\0\\-{\dot {\theta }}\end{array}}\right]_{2}=-I{\dot {\theta }}\left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]_{2}=-I{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1,2}$

La energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}_{O}={\dfrac {1}{2}}\,I{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{6}}ML2{\dot {\theta }}^{2}$

Aplicación del T.M.C.

La barra está sometida a dos fuerzas, el peso aplicado en el punto $G$ y la fuerza de reacción vincular en $O$. Aplicando el T.M.C. en el punto $O$ tenemos

${\dot {\vec {L}}}_{O}={\vec {M}}_{O}^{\mathrm {ext} }$

La fuerza aplicada en $O$ no ejerce momento respecto a $O$. El momento neto es

${\vec {M}}_{O}^{\mathrm {ext} }={\overrightarrow {OG}}\times {\vec {P}}=\left({\dfrac {L}{2}}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+{\dfrac {L}{2}}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\right)\times (-Mg\,{\vec {\jmath }}_{1})=-{\dfrac {1}{2}}MgL\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{1}$

Por otro lado, la derivada respecto del tiempo del momento cinético es

${\dot {\vec {L}}}_{O}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left(-I{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\right)\right|_{1}=-I{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}$

Visto desde el sólido "1", el vector ${\vec {k}}_{2}={\vec {k}}_{1}$ no cambia, y la constante $I$ tampoco. La ecuación de movimiento es

$-I{\ddot {\theta }}=-{\dfrac {1}{2}}MgL\,\mathrm {sen} \,\theta \Longrightarrow {\ddot {\theta }}={\dfrac {3g}{2L}}\,\mathrm {sen} \,\theta$

Integral primera del movimiento

La fuerza de reacción vincular en $O$ no hace trabajo, pues el punto $O$ no se mueve. El peso es una fuerza conservativa, y podemos asociarle una energía potencial gravitatoria. Tomando como referencia de energía potencial $y_{1}=0$, la energía potencial gravitatoria de la barra es

$U=Mgy_{G}={\dfrac {1}{2}}MgL\cos \theta$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria

$E=T+U={\dfrac {1}{6}}ML^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dfrac {1}{2}}MgL\cos \theta$

Al ser constante, la energía mecánica en cada instante es igual a la que tenía en el instante inicial. Si las condiciones iniciales son $\theta (0)=\theta _{0}$ y ${\dot {\theta }}(0)={\dot {\theta }}_{0}$ la energía mecánica en el instante inicial es

$E={\dfrac {1}{6}}ML^{2}{\dot {\theta }}_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}MgL\cos \theta _{0}=E_{0}$

Con esto obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

${\dfrac {1}{6}}ML^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dfrac {1}{2}}MgL\cos \theta =E_{0}$

donde $E_{0}$ es constante en el tiempo.

A diferencia de la ecuación obtenida en el apartado anterior, esta es una ecuación diferencial de primer orden. Sin embargo, ambas ecuaciones son equivalentes. Si derivamos respecto al tiempo tenemos

${\dfrac {1}{3}}ML^{2}{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}-{\dfrac {1}{2}}MgL{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta =0\Longrightarrow {\ddot {\theta }}={\dfrac {3g}{2L}}\,\mathrm {sen} \,\theta$

Reobtenemos la ecuación diferencial de segundo orden. Por esto la ecuación obtenida de la conservación de la energía se llama integral primera. Es equivalente a integrar una vez la ecuación diferencial de segundo orden obtenida de aplicar el T.M.C.