Enunciado

Una masa cuelga de un hilo tenso, inextensible y sin masa, de longitud . La masa se mueve de modo que describe un movimiento circular uniforme en torno al eje , como se indica en la figura. La masa está también sometida a la acción de la gravedad. En el instante mostrado en la figura la partícula está en el plano .

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la masa. Añade a este diagrama el vector aceleración de la partícula. ¿Cuanto vale el radio de la circunferencia que describe la partícula?
  2. Aplicando la Segunda Ley de Newton, determina la relación entre la rapidez de la partícula y el ángulo que forma el hilo con la vertical.
  3. Suponiendo que , y que la dirección de la velocidad apunta en el sentido negativo del eje , calcula el momento angular de la partícula respecto al punto en el instante que se muestra en la figura, así como su derivada temporal.

Solución

Diagrama de cuerpo libre

Sobre la partícula una fuerza activa, el peso, y una fuerza vincular, la tensión de la cuerda. La fuerza que la cuerda ejerce sobre la partícula está dirigida en la dirección de la propia cuerda, como se ve en la figura.

La partícula realiza un movimiento circular uniforme. Esto no quiere decir que la aceleración sea cero, sino que la aceleración tiene sólo componente normal. Además, tiene que apuntar hacia el eje en todo instante, pues la aceleración siempre apunta hacia la parte cóncava de la trayectoria. Además, el módulo de la aceleración es

donde es la rapidez de la partícula y es el radio de la circunferencia que describe. Por trigonometría obtenemos

Ángulo

La Segunda Ley de Newton en este caso es

En el sistema de ejes de la figura las fuerzas aplicadas sobre la partícula se expresan como sigue

El término de inercia es

Entonces la Segunda Ley nos da dos ecuaciones

Despejando la tensión en la primera ecuación y despejando en la segunda obtenemos la relación pedida

La fuerza que ejerce la cuerda es

La componente en compensa al peso mientras que la componente en es la que hace girar a la partícula.

Hay dos valores límites interesantes para el ángulo . Si tenemos . En esta situación la partícula no se mueve y la fuerza que ejerce la cuerda compensa exactamente al peso.

Si , tenemos . Es decir, cuanto mayor sea la rapidez de la partícula, más horizontal se pone la cuerda. Para que esta sea completamente horizontal la rapidez de la partícula tiene que ser infinita.

Momento cinético

El momento cinético de la partícula respecto del punto es

Por lo que dice el enunciado la velocidad en el instante indicado en la figura es

con El vector de posición es

El momento cinético es

No podemos derivar esta expresión respecto al tiempo pues sólo conocemos en este instante. Pero podemos aplicar el Teorema del Momento Cinético

siendo la fuerza neta sobre la partícula. Tenemos

La tensión no crea momento pues es colineal con . Entonces