Barra con extremo en un arco de circunferencia, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

El extremo $A$ de la barra de la figura (sólido "2") desliza sobre el eje fijo $OX_{1}$. El otro extremo $B$ se mueve a lo largo de un arco de circunferencia de radio $R=10b$ (sólido "1"). La velocidad respecto al eje $OX_{1}$ del extremo $A$ de la barra es constante y de módulo $v_{0}$. En el instante indicado en la figura el ángulo $\beta$ verifica

$\mathrm {sen} \,\beta =4/5,\qquad \cos \beta =3/5.$

1. Escribe la expresión del vector ${\overrightarrow {AB}}$ en la base del sólido "1".
2. Encuentra gráficamente y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21} (puedes hacer la determinación gráfica en el propio dibujo)
3. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $A$.

Solución

Vector ${\overrightarrow {AB}}$

Lo mas sencillo es construir el vector pedido con la operación vectorial

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OA}}.$

Tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=5b\,{\vec {\imath }}_{1},\\{\overrightarrow {OB}}=10b\cos \beta \,{\vec {\imath }}_{1}+10b\,\mathrm {sen} \,\beta \,{\vec {\jmath }}_{1}=6b\,{\vec {\imath }}_{1}+8b\,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

Por tanto

${\overrightarrow {AB}}=b\,{\vec {\imath }}_{1}+8b\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

C.I.R.

Por lo que dice el enunciado sabemos que ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$ es paralela a $OX_{1}$. Por otro lado, el extremo $B$ de la barra sigue el arco de circunferencia, por lo que ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$ es perpendicular al radio, como se indica en la figura. Trazando por $A$ y por $B$ sendas rectas perpendiculares a sus velocidades respectivas obtenemos la posición del C.I.R. pedido en el punto de corte.

Como observamos en el dibujo, el vector de posición del C.I.R. es

${\overrightarrow {OI}}_{21}=5b\,{\vec {\imath }}_{1}+{\dfrac {20}{3}}b\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Reducción cinemática

Lo mas sencillo es utilizar el hecho de que conocemos la posición del C.I.R. del movimiento y que${\vec {v}}_{21}^{\,I_{21}}={\vec {0}}$. Usando Chasles

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{21}^{\,I_{21}}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AI}}_{21}=(\omega \,{\vec {k}})\times \left({\dfrac {20}{3}}b\,{\vec {\jmath }}_{1}\right)=-{\dfrac {20}{3}}\omega b\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Por otro lado sabemos que ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}{\vec {\imath }}_{1}$. Entonces

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {v_{0}}{20b}}\,{\vec {k}}.$