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Enunciado

Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa y longitud se mueve de modo que su centro se encuentra siempre sobre el eje . La barra tiene dos grados de libertad de rotación. El sistema auxiliar se define de modo que la barra esté siempre contenida en el plano . La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en la figura. El contacto de la barra con el eje es liso.

  1. Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
  2. Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
  3. Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
  4. Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
  5. En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto y los valores iniciales de las coordenadas angulares son y . La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión aplicada en el punto . Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Este es el movimiento de rotación permanente del plano . La reducción en el punto es

Calculamos la velocidad en el punto usando el Teorema de Chasles

Como , este vector es paralelo a , el producto vectorial es nulo. La reducción cinemática en el centro de la barra es

Movimiento {20}

Este es el movimiento de la barra respecto del plano . La reducción cinemática en el punto es

Movimiento {21}

Construimos la reducción cinemática usando la composición {21} = {20} + {01}. Para el vector rotación tenemos

Para la velocidad tenemos

Momento cinético respecto al centro de masas

El momento cinético respecto al centro de masas se puede calcular con la expresión

Expresamos el tensor de inercia de la barra en el punto en la base del sólido solidario con la barra

con

Tenemos que expresar el vector rotación en la base "2" para hacer el producto escalar. Examinando el dibujo tenemos

El vector expresado en la base "2" es

El momento angular es

Energía cinética de la barra

Podemos calcularla como suma de la energía cinética de traslación del centro de masa y energía cinética de rotación alrededor de él

La energía cinética de traslación es

La de rotación es

La energía cinética total es

Lagrangiana e integral primera

La barra está sometida al peso (fuerza conservativa) por lo que se puede definir una energía potencial gravitatoria. Tomando como origen el plano tenemos

y la lagrangiana es

Vemos que la coordenada no aparece en la Lagrangiana. Entonces, de la ecuación de Lagrange correspondiente deducimos que su momento generalizado asociado se conserva

Podemos escribir la integral primera como

Movimiento impulsivo

Lo más sencillo es utilizar las ecuaciones de Lagrange impulsivas. Tenemos tres grados de libertad

El sistema parte del reposo, por tanto

Para la coordenada

Para la coordenada

Para la coordenada

porque .

La percusión se aplica en el extremo de la barra. Necesitamos la velocidad absoluta de ese punto

Hemos usado que

Las fuerzas generalizadas son

Aplicando las ecuaciones de Lagrange impulsivas tenemos

Estos son las condiciones iniciales del movimiento ulterior de la barra después de la percusión.