Barra apoyada sobre placa rectangular (Nov 2017 MR)

Enunciado

La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto $O$. Se apoya sobre el vértice $A$ de una placa rectangular (sólido "0") de altura $d$. El vértice $A$ de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La placa desliza sobre el eje $OX_{1}$, de forma que su base está siempre en contacto con el eje. El ángulo que forma la barra con el eje $OX_{1}$ es $\theta (t)=\omega _{0}t+\pi /6$, con $\omega _{0}$ constante y positivo.

1. Escribe el vector de posición absoluto del punto $A$ del sólido "0".
2. Encuentra la reducción cinemática de los tres movimientos relativos del sistema.
3. Determina aceleración ${\vec {a}}_{20}^{\,O}$ en el instante en que $\theta =\pi /4$, así como la posición del C.I.R.
4. Determina las posiciones de los C.I.R en ese mismo instante.

Solución

Vector de posición

El vector de posición pedido es

${\vec {r}}_{01}^{\,A}={\dfrac {d}{\tan \theta }}{\vec {\imath }}_{1}+d{\vec {\jmath }}_{1}.$

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Este movimiento es una traslación, pues los lados de la placa mantienen sus direcciones constantes respecto a los ejes del sólido "1". El vector de posición del apartado anterior sigue siempre al mismo punto $A$ del sólido "0". Entonces se puede derivar respecto del tiempo para calcular la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,A}$. Al ser una traslación, no hay que poner la letra, pues todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.

${\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}},\qquad {\vec {v}}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{01}^{\,A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-{\dfrac {d\omega _{0}}{\mathrm {sen} ^{2}\,\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Movimiento {21}

Esta es una rotación de eje permanente con C.I.R. en el punto $O$. Tenemos

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{0}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {0}}.$

Movimiento {20}

Usamos las leyes de composición. Tenemos

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\Longrightarrow {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=\omega _{0}\,{\vec {k}}.$

Y

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}+{\vec {v}}_{01}^{\,O}\Longrightarrow {\vec {v}}_{20}^{\,O}={\vec {v}}_{21}^{\,O}-{\vec {v}}_{01}^{\,O}={\dfrac {d\omega _{0}}{\mathrm {sen} ^{2}\,\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Derivadas de las reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

Derivando respecto al tiempo tenemos

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\dfrac {2d\omega _{0}^{2}\cos \theta }{\mathrm {sen} ^{3}\,\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Movimiento {21}

Derivando tenemos

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{01}^{\,O}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.$

Movimiento {20}

Usamos las leyes de composición. Tenemos

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}\Longrightarrow {\vec {\alpha }}_{20}={\vec {0}}$

Y

${\vec {a}}_{21}^{\,O}={\vec {a}}_{20}^{\,O}+{\vec {a}}_{01}^{\,O}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}\Longrightarrow {\vec {a}}_{20}^{\,O}={\vec {a}}_{21}^{\,O}-{\vec {a}}_{01}-2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}=-{\dfrac {2d\omega _{0}^{2}\cos \theta }{\mathrm {sen} ^{3}\,\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Si $\theta =\pi /4$ tenemos

${\vec {a}}_{20}^{\,O}=-4d\omega _{0}^{2}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Posición de los C.I.R en $\theta =\pi /4$

La figura de la derecha muestra la posición de los C.I.R. de los movimientos cuando $\theta =\pi /4$. En todo instante tenemos

$I_{21}\equiv O,\qquad I_{01}\equiv \infty (+Y_{1}).$

Por el Teorema de los centros, el $I_{20}$ debe estar en la línea que une $I_{21}$ y $I_{01}$, esto es, el eje $OY_{1}$. Por otro lado, la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{A}$ debe ser paralela a la propia barra, pues ésta no puede penetrar en la placa. Por tanto, el $I_{20}$ debe estar en la línea perpendicular a la barra trazada por $A$. El punto de corte de estas dos líneas da la posición del $I_{20}$. Cuando $\theta =\pi /4$ tenemos

${\overrightarrow {OI}}_{20}=2d\,{\vec {\jmath }}_{1}.$