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Barra apoyada sobre placa rectangular (Nov 2017 MR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto O. Se apoya sobre el vértice A de una placa rectangular (sólido "0") de altura d. El vértice A de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La placa desliza sobre el eje OX1, de forma que su base está siempre en contacto con el eje. El ángulo que forma la barra con el eje OX1 es θ(t) = ω0t + π / 6, con ω0 constante y positivo.

  1. Escribe el vector de posición absoluto del punto A del sólido "0".
  2. Encuentra la reducción cinemática de los tres movimientos relativos del sistema.
  3. Determina aceleración \vec{a}^{\,O}_{20} en el instante en que θ = π / 4, así como la posición del C.I.R.
  4. Determina las posiciones de los C.I.R en ese mismo instante.

2 Solución

2.1 Vector de posición

El vector de posición pedido es


\vec{r}^{\,A}_{01} = \dfrac{d}{\tan\theta}\vec{\imath}_1 + d\vec{\jmath}_1.

2.2 Reducciones cinemáticas

2.2.1 Movimiento {01}

Este movimiento es una traslación, pues los lados de la placa mantienen sus direcciones constantes respecto a los ejes del sólido "1". El vector de posición del apartado anterior sigue siempre al mismo punto A del sólido "0". Entonces se puede derivar respecto del tiempo para calcular la velocidad \vec{v}^{\,A}_{01}. Al ser una traslación, no hay que poner la letra, pues todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.


\vec{\omega}_{01} = \vec{0}, 
\qquad
\vec{v}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,A}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
-\dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1.

2.2.2 Movimiento {21}

Esta es una rotación de eje permanente con C.I.R. en el punto O. Tenemos


\vec{\omega}_{21} = \omega_0\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{0}.

2.2.3 Movimiento {20}

Usamos las leyes de composición. Tenemos


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = \omega_0\,\vec{k}.

Y


\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,O}_{20} + \vec{v}^{\,O}_{01}
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,O}_{20} = \vec{v}^{\,O}_{21} - \vec{v}^{\,O}_{01}
=
\dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1

2.3 Derivadas de las reducciones cinemáticas

2.3.1 Movimiento {01}

Derivando respecto al tiempo tenemos


\vec{\alpha}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 =
 \vec{0}, 
\qquad
\vec{a}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
\dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1.

2.3.2 Movimiento {21}

Derivando tenemos


\vec{\alpha}_{21} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t} \right|_1 =
 \vec{0}, 
\qquad
\vec{a}^{\,O}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
\vec{0}.

2.3.3 Movimiento {20}

Usamos las leyes de composición. Tenemos


\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} 
\Longrightarrow
\vec{\alpha}_{20} = \vec{0}

Y


\vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{a}^{\,O}_{20} + \vec{a}^{\,O}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20}
\Longrightarrow
\vec{a}^{\,O}_{20} = \vec{a}^{\,O}_{21} - \vec{a}_{01} - 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20}
=
-\dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1

Si θ = π / 4 tenemos


\vec{a}^{\,O}_{20} = -4d\omega_0^2\,\vec{\imath}_1.

2.4 Posición de los C.I.R en θ = π / 4

La figura de la derecha muestra la posición de los C.I.R. de los movimientos cuando θ = π / 4. En todo instante tenemos


I_{21}\equiv O, \qquad I_{01}\equiv \infty (+Y_1).

Por el Teorema de los centros, el I20 debe estar en la línea que une I21 y I01, esto es, el eje OY1. Por otro lado, la velocidad \vec{v}^{A}_{20} debe ser paralela a la propia barra, pues ésta no puede penetrar en la placa. Por tanto, el I20 debe estar en la línea perpendicular a la barra trazada por A. El punto de corte de estas dos líneas da la posición del I20. Cuando θ = π / 4 tenemos


\overrightarrow{OI}_{20} = 2d\,\vec{\jmath}_1.

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