http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Barra_apoyada_sobre_placa_rectangular_(Nov_2017_MR)&feed=atom&action=historyBarra apoyada sobre placa rectangular (Nov 2017 MR) - Historial de revisiones2024-03-29T10:34:48ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Barra_apoyada_sobre_placa_rectangular_(Nov_2017_MR)&diff=696&oldid=prevPedro: Página creada con «= Enunciado = right La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto <math>O</math>. Se apoya sobre el vértice <math>A</math> de una placa rectangular (sólido "0") de altura <math>d</math>. El vértice <math>A</math> de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La placa desliza sobre el eje <math>OX_1</math>, de forma que su base está siempre en contacto con el eje. El ángulo que forma la barra con el…»2023-09-26T14:47:35Z<p>Página creada con «= Enunciado = <a href="/wiki/index.php/Archivo:MR_barra_placa_enunciado.png" title="Archivo:MR barra placa enunciado.png">right</a> La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto <math>O</math>. Se apoya sobre el vértice <math>A</math> de una placa rectangular (sólido "0") de altura <math>d</math>. El vértice <math>A</math> de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La placa desliza sobre el eje <math>OX_1</math>, de forma que su base está siempre en contacto con el eje. El ángulo que forma la barra con el…»</p>
<p><b>Página nueva</b></p><div>= Enunciado =<br />
[[Imagen:MR_barra_placa_enunciado.png|right]]<br />
La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto <math>O</math>. Se apoya<br />
sobre el vértice <math>A</math> de una placa rectangular (sólido "0") de altura <math>d</math>. El <br />
vértice <math>A</math> de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La<br />
placa desliza sobre el eje <math>OX_1</math>, de forma que su base está siempre en contacto <br />
con el eje. El ángulo que forma la barra con el eje <math>OX_1</math> es <math>\theta(t) = \omega_0t + \pi/6</math>, con <br />
<math>\omega_0</math> constante y positivo.<br />
#Escribe el vector de posición absoluto del punto <math>A</math> del sólido "0".<br />
#Encuentra la reducción cinemática de los tres movimientos relativos del sistema.<br />
#Determina aceleración <math>\vec{a}^{\,O}_{20}</math> en el instante en que <math>\theta=\pi/4</math>, así como la posición del C.I.R.<br />
#Determina las posiciones de los C.I.R en ese mismo instante.<br />
<br />
= Solución =<br />
<br />
== Vector de posición ==<br />
El vector de posición pedido es<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{r}^{\,A}_{01} = \dfrac{d}{\tan\theta}\vec{\imath}_1 + d\vec{\jmath}_1.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
== Reducciones cinemáticas ==<br />
<br />
=== Movimiento {01} ===<br />
Este movimiento es una traslación, pues los lados de la placa mantienen sus direcciones constantes<br />
respecto a los ejes del sólido "1". El vector de posición del apartado anterior sigue siempre al mismo<br />
punto <math>A</math> del sólido "0". Entonces se puede derivar respecto del tiempo para calcular<br />
la velocidad <math>\vec{v}^{\,A}_{01}</math>. Al ser una traslación, no hay que poner la letra, pues<br />
todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{\omega}_{01} = \vec{0}, <br />
\qquad<br />
\vec{v}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,A}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1<br />
=<br />
-\dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
=== Movimiento {21} ===<br />
Esta es una rotación de eje permanente con C.I.R. en el punto <math>O</math>. Tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{\omega}_{21} = \omega_0\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{0}.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
=== Movimiento {20} ===<br />
Usamos las leyes de composición. Tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}<br />
\Longrightarrow<br />
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = \omega_0\,\vec{k}.<br />
</math><br />
</center><br />
Y<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,O}_{20} + \vec{v}^{\,O}_{01}<br />
\Longrightarrow<br />
\vec{v}^{\,O}_{20} = \vec{v}^{\,O}_{21} - \vec{v}^{\,O}_{01}<br />
=<br />
\dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
== Derivadas de las reducciones cinemáticas ==<br />
<br />
=== Movimiento {01} ===<br />
Derivando respecto al tiempo tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{\alpha}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 =<br />
\vec{0}, <br />
\qquad<br />
\vec{a}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1<br />
=<br />
\dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
=== Movimiento {21} ===<br />
Derivando tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{\alpha}_{21} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t} \right|_1 =<br />
\vec{0}, <br />
\qquad<br />
\vec{a}^{\,O}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1<br />
=<br />
\vec{0}.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
=== Movimiento {20} ===<br />
Usamos las leyes de composición. Tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} <br />
\Longrightarrow<br />
\vec{\alpha}_{20} = \vec{0}<br />
</math><br />
</center><br />
Y<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{a}^{\,O}_{20} + \vec{a}^{\,O}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20}<br />
\Longrightarrow<br />
\vec{a}^{\,O}_{20} = \vec{a}^{\,O}_{21} - \vec{a}_{01} - 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20}<br />
=<br />
-\dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1<br />
</math><br />
</center><br />
Si <math>\theta=\pi/4</math> tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{a}^{\,O}_{20} = -4d\omega_0^2\,\vec{\imath}_1.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
== Posición de los C.I.R en <math>\theta=\pi/4</math> ==<br />
[[Imagen:MR_barra_placa_CIR.png|right]]<br />
La figura de la derecha muestra la posición de los C.I.R. de los movimientos cuando <math>\theta=\pi/4</math>. En todo instante tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
I_{21}\equiv O, \qquad I_{01}\equiv \infty (+Y_1).<br />
</math><br />
</center><br />
Por el Teorema de los centros, el <math>I_{20}</math> debe estar en la línea que une <math>I_{21}</math> y <math>I_{01}</math>, esto es, el eje <math>OY_1</math>. Por otro lado, la velocidad <math>\vec{v}^{A}_{20}</math> debe ser paralela a la propia barra, pues ésta no puede penetrar en la placa. Por tanto, <br />
el <math>I_{20}</math> debe estar en la línea perpendicular a la barra trazada por <math>A</math>. El punto de corte de estas dos líneas da la posición del <math>I_{20}</math>. Cuando <math>\theta=\pi/4</math> tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{OI}_{20} = 2d\,\vec{\jmath}_1.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]<br />
[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]<br />
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]</div>Pedro