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Avión girando alrededor de un eje

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

(Primer Parcial, Enero 2009, P1)

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio L y centro O. El módulo de la velocidad angular de este giro es |\vec{\omega}_{01}|=\Omega(cte). Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es R, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular de módulo |\vec{\omega}_{20}|=\omega(cte). Se pide

  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando la composición de velocidades, calcular \vec{\omega}_{21} y \vec{\alpha}_{21}.
  3. La velocidad \vec{v}_{21}^P y aceleración \vec{a}_{21}^P del punto más alto de la hélice (punto P en la figura), así como la ecuación del E.I.R.M.D. de {21} ¿Qué tipo de movimiento es éste?
  4. Calcule numéricamente |\vec{v}_{21}^P| y |\vec{a}_{21}^P| para los valores R=1\,\mathrm{m}, L=100\,\mathrm{m}, \omega=100\,\mathrm{rad/s} y \Omega=1\,\mathrm{rad/s}.

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido 0 para resolver el problema.


2 Solución

2.1 Reducción cinemática de {01}

El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta OZ_1\equiv OZ_0. El punto O pertenece al eje de giro, por lo que \vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}. El enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es |\vec{\omega}_{01}|=\Omega. Según el giro que se indica en la figura apunta en el sentido positivo del eje Z0. Por tanto la reducción en el punto O es


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1&&\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv
    OZ_0\equiv OZ_1\\  &&\\\vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}&&
  \end{array}

2.2 Reducción cinemática de {20}

Este movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues, el punto C pertenece al eje de giro, por lo que \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}. En el dibujo también se observa que el eje de giro es paralelo a OY0. Como el enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es |\vec{\omega}_{20}|=\omega, la reducción en el punto C es


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\jmath}_0&&\Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv CY_0\\
    && \\
    \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}    &&
  \end{array}

2.3 Movimiento {21}

Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la composición

{21} = {20} + {01}

La composición de velocidades angulares es


  \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}

Usando los movimientos {01} y {20} tenemos


  \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\jmath}_0+\Omega\,\vec{k}_0

Para la aceleración angular usamos


  \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}

El enunciado nos dice que tanto |\vec{\omega}_{01}| como |\vec{\omega}_{20}| son constantes. Por tanto se cumple


    \vec{\alpha}_{01}=\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}

Calculando el producto vectorial \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}


  \vec{\alpha}_{21}=-\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0

Calculamos ahora \vec{v}_{21}^P. Para ello usamos la composición de movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades


  \begin{array}{rl}
    \vec{v}_{21}^P=&\vec{v}_{20}^P+\vec{v}_{01}^P\\
    &\vec{v}_{20}^P=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}=(\omega\,\vec{\jmath}_0)\times(R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 \\
    &\vec{v}_{01}^P=\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}=
    (\Omega\,\vec{k}_0)\times(L\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 =L\Omega\,\vec{\jmath}_0
  \end{array}

Por tanto


  \vec{v}_{21}^P = R\omega\,\vec{\imath}_0 + L\Omega\,\vec{\jmath}_0

Para calcular \vec{a}_{21}^P necesitamos determinar la aceleración en un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula. Entonces


  \begin{array}{ccc}
    \vec{a}_{01}^{O}=\vec{0}&&\vec{a}_{20}^{C}=\vec{0}
  \end{array}

Ahora podemos calcular \vec{a}_{21}^P usando la composición y las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos


  \begin{array}{rl}
    \vec{a}_{21}^P =& \vec{a}_{20}^P+\vec{a}_{01}^P+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P\\
    &\vec{a}_{20}^P = \vec{a}_{20}^C
    +\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})=
    -R \omega^2\,\vec{k}_0\\
    &\vec{a}_{01}^P = \vec{a}_{01}^{O}
    +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})=
    -L \Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
    &2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P =
    2(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\omega\,\vec{\imath}_0)= 2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0
  \end{array}

Resulta


  \vec{a}_{21}^P=-L\Omega^2\,\vec{\imath}_0+2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0-R\omega^2\,\vec{k}_0

Para encontrar el eje Δ21, vamos a calcular \vec{v}_{21}^O, para hacer más sencilla la descripción de la posición del eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos


  \begin{array}{rl}
  \vec{v}_{21}^O =& \vec{v}_{21}^P+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} \\
  & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} = 
  \left|
    \begin{array}{ccc}
      \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\
      0&\omega&\Omega\\
      -L&0&-R
    \end{array}
  \right|=
  -R\omega\,\vec{\imath}_0-L\Omega\,\vec{\jmath}_0+L\omega\,\vec{k}_0\\
  \vec{v}_{21}^O =& L\omega\vec{k}_0
  \end{array}

Podemos encontrar un punto de Δ21 usando la expresión


  \overrightarrow{OC^*}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=
  \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0

La ecuación vectorial de Δ21 es


  \Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC^*}+\lambda\vec{\omega}_{21}=
    \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 +\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)

Como ω2 / (ω2 + Ω2) < 1, el punto C * está sobre el eje OX0 en un punto intermedio entre el punto O y el punto C. La figura muestra la posición aproximada del eje.

Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima


  v^{\text{mín}}=\dfrac{\vec{v}_{21}^P\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = 
  \dfrac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}} \neq 0

Como \vec{\omega}_{21}\neq0 y v^{\text{mín}}\neq0 el movimiento instantáneo es helicoidal tangente.

2.4 Aplicación numérica

Con los valores numéricos dados y usando las expresiones obtenidas en los apartados anteriores


  \begin{array}{l}
    |\vec{v}_{21}^P| = \sqrt{R^2\omega^2+L^2\Omega^2} = 141 \,\mathrm{m/s}=509
    \,\mathrm{km/h}\\ \\
    |\vec{a}_{21}^P| = \sqrt{L^2\Omega^4+4R^2\omega^2\Omega^2+R^2\omega^4}
      = 
      1.00\times10^4\,\mathrm{m/s^2}
  \end{array}

Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.


2.5 Errores habituales detectados en la corrección

  1. Hay que explicar los pasos que se dan. No se puede poner una ristra de fórmulas sin incluir al menos una línea de texto que explique lo que se está haciendo.
  2. Al calcular un punto del eje central, mucha gente ha aplicado mal la fórmula. EL punto del eje se calcula respecto al punto en el que se considera la velocidad. Es decir, si se usa \vec{v}_{21}^P, la fórmula nos da el vector \overrightarrow{PI^*}, y la posición del punto del eje respecto al origen sería \overrightarrow{OI^*}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PI^*}.
  3. También ha sido frecuente decir que el movimiento es helicoidal tangente sin justificarlo. Hay que calcular la velocidad mínima del movimiento, es decir, la proyección de la velocidad en cualquier punto sobre la dirección del vector velocidad angular. Sólo si esta velocidad mínima es no nula se puede asegurar que es un movimiento helicoidal tangente.
  4. Otra variante de este mismo error es decir que es un movimiento helicoidal tangente porque \vec{v}_{21}^P o \vec{v}_{21}^C son no nulas. Esto no vale, porque esos puntos no están el eje instantáneo de rotación.

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